平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。
1到20的平方数有：1=1×1，4=2×2，9=3×3,16=4×4 共,四个
1到20的平方分别为：
1的平方为1，2的平方为4，3的平方为9，4的平方为16，5的平方为25；
6的平方为36，7的平方为49，8的平方为64，9的平方为81，10的平方为100；
11的平方为121，12的平方为144，13的平方为169，14的平方为196，15的平方为225；
16的平方为256，17的平方为289，18的平方为324，19的平方为361，20的平方为400。
拓展资料：
平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a，简写成a²，也可写成a×a(a的一次方乘a的一次方等于a的2次方），例如4×4=16，8×8=64，平方符号为2。
平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。
平方数平方数，或称正方形数，是可以写成整数的二次方的数。若n=m^2，n和m均是整数，n就是平方数。假如将n个点排成矩形，可以排成一个正方形。 1: + x4: x + x x+ + x x9: x x + x x xx x + x x x+ + + x x x16: x x x + x x x xx x x + x x x xx x x + x x x x+ + + + x x x x25: x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x + + + + + x x x x x 从上面的图形中可以得出精彩的结论，★1^2=12^2=1+33^2=1+3+54^2=1+3+5+7............n^2=1+3+5+7+...+(2n-1)★★1^2=12^2=1+2+13^2=1+2+3+2+14^2=1+2+3+4+3+2+1............n^2=1+2+3+4+...+n+1+2+3+4+...+(n-1)★★★三个连续的平方数是勾股数组的仅一组，即3^2+4^2=5^2★★★★n+...4+3+2+1n+...4+3+2n+...4+3n+...4...n上面所有数相加是平方数和，你也许说没任何意义但可以根据他巧得平方和公式S,即S=nC(n+1,2)-C(n+2,3)一些其他性质第一个平方数是1。第n个平方数是n2，等于首n个单数的和。 每4个连续的自然数相乘加一，必定会等于一个平方数。 拉格朗日定理∶每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8l + 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
如果数a是某个整数b的平方，则称a是完全平方数，简称平方数。如0、1、4、9、16、25……平方数的主要性质有：
（1）平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9。
一个平方数的个位数字是0时，十位数字必为0；个位数字是1、4、5、9时，十位数字必为偶数；个位数字是6时，十位数字必为奇数。
（2）偶平方数被4整除，奇平方数被8除余1，任一平方数被3除余0或1。
（3）两个相邻平方数之间不存在平方数。
例1、P是负整数，且2001＋P是一个完全平方数，求P的最大值。
（北京市数学竞赛初二试题）
解：∵442＝1936，452＝2025
∴442＜2001＜452
∵P是负整数，
∴P＋2001＜2001
当P＋2001＝442＝1936时，P最大，这时P＝－65。
例2、已知n是自然数，且n2－17n＋73是完全平方数，那么n的值是＿＿＿＿或＿＿＿＿。
（第十三届“希望杯”初二试题）
解：n2－17n＋73＝?n－8?2＋?9－n? ①
n2－17n＋73＝?n－9?2＋?n－9?＋1 ②
（1）当n＜8时，9－n＞1，n－9＜－1，由①、②，得
（n－8?2＜n2－17n＋73＜?n－9?2
∵（n－8?2与?n－9?2是相邻平方数，
∴n2－17n＋73不是平方数；
（2）当n＞9时，9－n＜0，n－9＞0，由①、②，得
（n－9?2＜n2－17n＋73＜?n－8?2
同理，n2－17n＋73 不是平方数；
（3）当n＝8时，n2－17n＋73＝1是平方数，
当n＝9时，n2－17n＋73＝1是平方数，
∴n的值是8或9。
利用平方数的性质可以得到个位数字是5的两位数a5（加一横线表示这是自然数）的平方的速算方法：
a5＝?10a＋5?2＝100a?a＋1?＋25
如852＝100×8×9＋25＝7200＋25＝7225
