什么是"对偶定理”?

在平面几何中,点和线称为对偶元素.过一点画一条直线和在一条直线上标出一个点叫作对偶运算.两个图形,如果一个可以从另一个把其中的元素和运算替换为对偶的元素和运算而达到,就称为对偶的.两个定理,如果一个定理中的所有元素和运算替换为对偶的就成为另一个定理时,叫做对偶的.如果其中一个定理真实,则另一个必然真实.关于上述这一事实,是彭色列在建立射影几何学理论时首先发现的.事实上,射影几何中所有的定理都是成对出现的.于是我们在射影几何内有如下对偶原理：

射影几何中的任一个成立的定理的对偶,同样是射影几何中的一个真实的定理.

是什么保证了这个对偶原理的正确性呢?这要追溯到几何基础的公理系统中去.在希尔伯特几何公理系统中的点、线、面、位于、通过等名词都是一些抽象的元素和关系,可以允许给予不同的具体解释.其演绎系统的性质,完全由公理系统中成立的关系给出.我们可以把射影几何也建立在这样的抽象元素和关系的公理系统上去.我们给出无定义的点、线和关联,以及象下面这样的对偶公理：“每两个不同的点关联着唯一的一条直线”和“每两条不同的直线关联着唯一的一点”等等.这样一来,任何一个定理,如果在它的叙述和证明中,只包含与对偶公理有关的元素,那么其中一定准许对偶化.因为原定理的证明在于某些公理的连续应用,而按同样顺序应用其对偶原理,这样就得到了关于对偶定理的证明.正由于公理的对偶性,才保证了对偶原理的正确性.

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对偶是一种广义对称.对称是数学美的重要特征之一.因此,对偶原理从方法论的角度来讲,便是数学的美学方法的一个具体体现,而且这一美学方法又与真紧密联系在一起,因此,它的作用也就显得更加重要了.

对偶定理是一个数学术语，指的是若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。

对偶式指的是对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式Y'，Y'就是Y的对偶式。显然Y和Y'互为对偶式。

在命题逻辑中的对偶式：在仅含有联结词与（∧）、或（∨）、非（┐）的命题公式A中，将∨换成∧，∧换成∨，若A中还含有0或1，则还需将其中的0换成1，1换成0，，所得到的新命题公式A*就是A的对偶式。例如，命题公式A=┐(P∧0)的对偶式A*=┐(P∨1)。

定理1：A和A*是互为对偶式，P，P2，...，Pn是出现在A和A*的原子变元，则 ┐A(P,...,Pn) <=>A*┐P,...┐Pn)； A(┐P,...Pn) <=>┐A*(P,...,Pn)；即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。例子：De Morgan定律 ┐(P∧Q)=┐P∨┐Q。

定理2：设A*，B*分别是A和B的对偶式，如果A<=>B，则A*<=>B*。这就是对偶原理。如果证明了一个等值公式，其对偶式的等值同时也立。可以起到事半功倍的效果。

扩展资料

若逻辑函数表达式的对偶式就是原函数表达式本身，即F'=F。则称函数F为自对偶函数。 例如，函数 是一自对偶函数。

因为：F'=(A·C+B)·(A+B·C) =(A+B)(C+B)(A+B)(A+C) =A(B+C)(A+C)+B(B+C)(A+C) =(B+C)(A+AC)+(B+B·C)(A+C) =A(B+C)+B(A+C) =F 求某一逻辑表达式的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。

参考资料来源：百度百科-对偶式

参考资料来源：百度百科-对偶定理

如果描述两种物理现象的方程具有相同数学形式，则他们解的数学形式也是相同的，这就是对偶原理（dual principle）

物理中的对偶原理例如，在电磁学中，均匀介质中的静电场与均匀导电媒质中的恒定电场有对偶关系，电位移矢量D与电流密度矢量J，电荷q与电流I对偶。如果在导电媒质中的电流密度矢量与电介质中的电位移矢量处于相同的边界情况(边界形状、尺寸、相互位置及场源都相同)下，则介质中的静电场与均匀导电媒质中的恒定电场具有相同的电场分布，即两者等位面的分布一致，且线与线的分布也一致。由于这两种场的对偶性，通过对偶量的代换，就可以直接由静电场的解得到恒定电场的解，节省了计算量，反之亦然。再如，电路中，电压源与电流源、短路与开路、串联与并联、电阻与电导、电容与电感，都存在对偶关系。在使用节点电压法和回路电流法时，不改变互为对偶的元件的值，将会得到形式完全一样的对偶方程，从而得到相同的一组解。数学中的对偶原理在射影平面上，如果在一个射影定理中把点与直线的观念对调，即把点改成直线，把直线改成点，把点的共线关系改成直线的共点关系，所得的命题仍然成立，这称为对偶原理。可以利用有心二次曲线的配极映射来完成。例如，德沙格定理是有关点、直线以及它们的衔接关系的定理，它是一个射影定理。它的对偶定理就是它的逆定理。该原理也可推广到n维射影空间中去。简言之，对偶，是大自然中最为广泛存在的，呈“分形”形态分布的一种结构规律，及任何系统往下和往上均可找出对偶二象的结构关系，且二象间具有完全性，互补性，对立统一性，稳定性，互涨性和互根性。现代控制理论中的对偶原理在自动控制论中，有时候需要研究系统的可控性和可观测性。利用对偶原理可以对研究系统方程带来很多方便。自动控制域中的能控与能观的特点见相关章节，本例不在赘述设系统为Sys1(A,B,C)，则Sys2(AT,CT,BT）就是Sys1的对偶系统。其动态方程应该满足如下标准形式：Sys1:x'=Ax+BUy=CxSys2:z'=ATz+CTvw=BTz其中 x,z是n维状态向量 u,w是p维向量；y，v均为q维向量。显然，依据此定义，可以知道，若Sys1是Sys2的对偶系统，则Sys2也是Sys1的对偶系统。两者间有如下特点：Sys1的可控性矩阵与Sys2的可观测性矩阵完全相同，而Sys1的可观测性矩阵又与Sys2的可控性矩阵完全相同！正因为如此简单的对偶关系，我们可以把可观测的单输入-单输出系统化为可观测标准型的问题 化为 将其对偶系统化为可控标准型的问题。设单输入-单输出系统的动态方程为：x'=Ax+BUy=Cx且该系统可观测，但A，C不是能观标准型。那么，其对偶系统动态方程为z'=ATz+CTvw=BTz对偶就一定可控，但不是可控标准型。解决办法是可以利用已知的，化为可控标准型的步骤，先将对偶系统化为可控标准型。再一次利用对偶原理，立即得到能观标准型。具体解决步骤：1列出对偶可控性矩阵V2=[CTATCT... （AT）n-1CT ]2求V2矩阵的逆阵V2-1=[v1 v2 ... vn]T3取V2-1第n行构造矩阵P4依据对偶原理得：PT=[VnAVn...An-1Vn]

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