关系代数的关系代数之“专门的关系运算”

专门的关系运算(Specific relation operations)包括选择、投影、连接、除等。

为了叙述上的方便，我们先引入几个记号。

⒈ 设关系模式为R(A1, A2, …, An)。它的一个关系设为R。t∈R表示t是R的一个元组。t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量 。

⒉ 若A={Ai1, Ai2, …, Aik}，其中Ai1, Ai2, …, Aik是A1, A2, …, An中的一部分，则A称为属性列或域列。フA则表示{A1, A2, …, An}中去掉{Ai1, Ai2, …, Aik}后剩余的属性组。t[A]=(t[Ai1], t[Ai2], …, t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。

⒊ R为n目关系，S为m目关系。设tr∈R(r为下标)，ts∈S(s为下标)，则trts(整个式子上方加一个半弧，r和s为下标) 称为元组的连接（Concatenation）。它是一个(n+m)列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。

⒋ 给定一个关系R(X,Z)，X和Z为属性组。我们定义，当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：

Zx={t[Z]|t∈R, t[X]=x}

它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。

⒈ 选择（Selection）

选择又称为限制（Restriction）。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作：

σF(R) = {t|t∈R ∧ F(t)='真'}

其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值‘真’或‘假’。

逻辑表达式F的基本形式为：

X1 θ Y1 [ φ X2 θ Y2 ]

θ表示比较运算符，它可以是>、≥、<、≤、=或≠。X1、Y1等是属性名或常量或简单函数。属性名也可以用它的序号来代替。φ表示逻辑运算符，它可以是フ、∧或∨。[ ]表示任选项，即[ ]中的部分可以要也可以不要，...表示上述格式可以重复下去。

因此选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。这是从行的角度进行的运算。

⒉ 投影（Projection）

关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作：

ΠA(R) = { t[A] | t∈R }

其中A为R中的属性列。

⒊ 连接（Join）

连接包括θ连接，自然连接，外连接，半连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。

连接运算从R和S的笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。

连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一种是等值连接（equi-join），另一种是自然连接（Natural join）。

θ为“=”的连接运算称为等值连接。它是从关系R与S的笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组。

自然连接（Natural join）是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且要在结果中把重复的属性去掉。

一般的连接操作是从行的角度进行运算。但自然连接还需要取消了重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

4. 除（Division）

给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X, Y, Z为属性组。R中的Y与S中的Y&127可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)。该P中只包含R中投影下来的的X属性组，且该X属性组应满足：R(Y)=S(Y)。

在关系代数运算中，除了交操作之外，都不会消去任何元素。

交操作可以消去那些不在两个关系中都出现过的元素。例如，如果有两个关系 R 和 S，则 R ∩ S 中包含的元素必须同时出现在 R 和 S 中。如果某个元素只出现在其中一个关系中，那么在交操作的结果中，该元素就会被消去。

一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(RS)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1)检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECTSNO,GRADEFROMSCWHERECNO='C2'------------------------------------πSNO,GRADE(σCNO='C2'(SC))************************************(2)检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECTSC.SNO,S.SNAMEFROMSC,SWHERESC.SNO=S.SNOANDSC.CNO='C2'------------------------------------πSNO,SNAME(σCNO='C2'(SSC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。----πSNO,SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。此表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间、省空间。************************************(3)检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名------------------------------------SELECTSC.SNO,S.SNAMEFROMSC,S,CWHERESC.SNO=S.SNOANDSC.CNO=C.CNOANDC.CNAME='MATHS'------------------------------------πSNO,SANME(σCNAME='MATHS'(SSCC))************************************(4)检索选修课程号为C2或C4的学生学号------------------------------------SELECTSNOFROMSCWHERECNO='C2'ORCNO='C4'------------------------------------πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC))************************************(5)检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号------------------------------------SELECTSA.SNOFROMSCASSA,SCASSBWHERESA.SNO=SB.SNOANDSA.CNO='C2'ANDSB.CNO='C4'------------------------------------π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）)************************************(6)检索不学C2课的学生姓名与年龄------------------------------------SELECTSNAME,AGEFROMSMINUSSELECTS.SNAME,S.AGEFROMSC,SWHERESC.SNO=S.SNOANDSC.CNO='C2'(Oracle)------------------------------------πSNAME,AGE（S）－πSNAME,AGE(σCNO='C2'（SSC）)************************************(7)检索学习全部课程的学生姓名------------------------------------这个定义用SQL表示比较麻烦，略过------------------------------------πSNO,CNO(SC)÷πCNO(C)先用除法取出选取所有课程的SNO集(除法可以理解为一个Filter)πSNAME(S(πSNO,CNO(SC)÷πCNO(C)))再关联S表取出SNAME************************************(8)检索所学课程包含S3所学课程的学生学号------------------------------------这个定义用SQL表示比较麻烦，略过------------------------------------πSNO,CNO(SC)÷πCNO(σSNO='S3'(SC)）同样运用了除法的特性************************************(9)将新课程元组('C10','PHYSICS','YU')插入到关系C中------------------------------------INSERTINTOCVALUES('C10','PHYSICS','YU')------------------------------------(C∪('C10','PHYSICS','YU'))记住该符号的用法************************************(10)将学号S4选修课程号为C4的成绩改为85分------------------------------------UPDATESCSETGRADE=85WHERESNO='S4'ANDCNO='C4'------------------------------------（SC－（'S4','C4',?)∪('S4','C4',85)）先用'－'实现DELETE功能，再用'∪'实现INSERT功能注意使用?来表示检索时忽略该字段值************************************四、关系代数表达式的优化：目的：为了系统在执行时既省时间又能提高效率。基本策略：先做选择，运用投影去除多余属性等等。优化算法：语法树(尽量提前做选择操作；在每个操作后，应做个投影操作，去掉不用的属性值)例如：πSNO,SNAME(σGRADE>60(SSC))进行优化后转换为：πSNO,SNAME(πSNO,SNAME(S)πSNO(σGRADE>60(SC)))--即提前做选择操作；在每个操作后，应做个投影操作，去掉不用的属性值又如：S(S#,SNAME,AGE,SEX)SC(S#,C#,GRADE)C(C#,CNAME,TEACHER)πCNAME,TEACHER(σSEX='女'(SSCC))进行优化后转换为：πCNAME,TEACHER(CπC#(πS#,C#(SC)πS#(σSEX='女'(S))))

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