原理：
设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。
第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc
第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。
证毕。
以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。
解释：
辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。
来源：
设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为0的除数即为(a, b)的最大公约数。
例如：a=25,b=15，a/b=1......10,b/10=1......5,10/5=2.......0,最后一个余数为0d的除数就是5, 5就是所求最大公约数。
举例说明：
不定方程为326x+78y=4，求出一组整数解x,y
求（326,78）的算式为：
326=4*78+14
14=326-4*78
78=5*14+8
8=78-5*14
14=1*8+6
6=14-1*8
8=1*6+2
2=8-1*6
6=3*2
所以
2=8-6=8-（14-8）
=2*8-14=2*（78-5*14）-14
=2*78-11*14=2*78-11*（326-4*78）
=46*78-11*326
即2=(-11)*326+46*78
所以4=(-22)*326+92*78
所以x = - 22, y = 92是不定方程326x+78y=4的一组解。
辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；
再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；
又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；
这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。
例如求1515和600的最大公约数，
第一次：用600除1515，商2余315；
第二次：用315除600，商1余285；
第三次：用285除315，商1余30；
第四次：用30除285，商9余15；
第五次：用15除30，商2余0。
1515和600的最大公约数是15。
辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果求几个数的最大公约数，可以先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后所得的一个最大公约数，就是所求的几个数的最大公约数。
那我就按照你给的这个例子具体来说吧：8251＝6105＋2146，为了表示简单，我就用a=b+c表示这个吧
于是有c=a-b
那么如果有d|a,且d|b,就必然有d|a-b,也就是d|c,
可见a和b的公约数必然也是c的约数。
现在假设d是a,b的最大公约数，那么d也必然是c的约数，于是d是b,c的公约数，现在就要证明它是最大公约数——
因为a=b+c，于是b,c的公约数也必然是a的约数，假设(b,c)=e,（根据"d是b,c的公约数"知道d|e）那么有e|b+c,即e|a,可见e也是a,b的公约数，e|d,综上有e=d
可见(a,b)=(b,c)=d
这个思想一推广，就成了辗转相除法了。
说的够明白吧?呵呵 .....
