哥德巴赫在1742年给欧拉的信中提出了如下猜想:任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和。但哥德巴赫自己无法证明，于是写信给著名数学家欧拉，请他帮忙证明，但直到去世，欧拉也无法证明。[1]由于“1也是素数”这一约定俗成的说法在当今数学界已经不再使用，原猜想的现代说法是:任何大于5的整数都可以写成三个素数之和。欧拉在答辩中还提出了另一个等价版本，即任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和。今天常见的猜想表述为欧拉版本。命题“任何足够大的偶数都可以表示为一个不超过A个质因数的数和另一个不超过B个质因数的数之和”写成“a+b”。1966年，陈景润证明“1+2”成立，即“任何足够大的偶数都可以表示为两个素数之和，或者一个素数和半个素数之和”。
今天常见的猜想表述为欧拉版本，即任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和，也称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从哥德巴赫的偶数猜想可以推导出，任何大于7的奇数都可以写成三个素数之和。后者被称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。如果哥德巴赫关于偶数的猜想是对的，那么哥德巴赫关于奇数的猜想也将是对的。弱哥德巴赫猜想还没有完全解决，但在1937年，前苏联数学家维诺格拉多夫证明了一个足够大的奇素数可以写成三个素数之和，这也被称为哥德巴赫-维-诺格拉的麦道夫定理或三素数定理。
哥德巴赫猜想
提出一个猜想
1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想:取任意一个奇数，比如77，可以写成三个素数之和，即77 = 53+17+7；另一个奇数，比如461，可以表示为461=449+7+5，也是三个素数之和。461也可以写成257+199+5，还是三个素数之和。有很多例子，就是发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。”
1742年6月30日，欧拉给哥德巴赫回信。这个命题看似正确，但他无法给出严格的证明。同时，欧拉提出了另一个命题:任何大于2的偶数都是两个素数之和。但是他也没能证明这个命题。
研究方法
研究偶哥德巴赫猜想的四种方法。这四种方法是:几乎素数、例外集、小变量三素数定理和几乎哥德巴赫问题。
几乎质数
几乎质数是指几乎没有质因数的正整数。现在让n是一个偶数。虽然不能证明N是两个质数之和，但足以证明可以写成两个几乎质数之和，即N=A+B，其中A和B的质因数个数不要太多，比如质因数个数不超过10。用“a+b”表示如下命题:每一个大偶数n都可以表示为A+B，其中A和B的素数因子个数分别不超过A和B。显然，哥德巴赫猜想可以写成“1+1”。这方面的进展是通过所谓的筛选方法实现的。
“a+b”问题的进展
1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。
1924年，德国的Latmacher证明了“7+7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。
1937年，意大利的莱西先后证明了“5+7”、“4+9”、“3+15”、“2+366”。
1938年，苏联的Bukhitab证明了“5+5”。
1940年，苏联的布克西泰伯证明了“4+4”。
1956年，中国的王元证明了“3+4”。后来证明了“3+3”和“2+3”。
1948年，匈牙利的雷尼证明了“1+ c”，其中C是一个大自然数。
1962年，中国的潘承东和苏联的巴尔巴证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。
1965年，苏联的Buchteber和vinogradov Jr .和意大利的彭伯里证明了“1+3”。
1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。
例外
取数轴上的大整数X，然后从X向前看，找到那些使哥德巴赫猜想不成立的偶数，即例外偶数。X之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望无论多大的x，在x之前只有一个例外偶数，就是2，也就是只有2才使得猜测错误。这样，哥德巴赫猜想就等价于E(x)总是等于1。当然，直到现在也无法证明e(x)= 1；但可以证明E(x)远小于x . x前面的偶数约为x/2；如果当x趋于无穷大时E(x)与x的比值趋于零，则说明这些例外偶数的密度为零，即哥德巴赫猜想对几乎所有偶数都成立。这就是异常收集的思想。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集的路上，同时出现了四个证明，包括华先生的著名定理。
许多业余哥德巴赫猜想者声称已经“证明”哥德巴赫猜想在概率意义上是正确的。其实他们只是“证明”了偶数是零密度。这个结论在60年前真的被证明了。
三素数定理
如果连哥德巴赫猜想都是正确的，那么奇猜想也是正确的。我们可以反过来思考这个问题。众所周知，奇数n可以表示为三个素数之和。如果能证明这三个素数中有一个很小，比如第一个素数总能取3，那么我们就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想促使潘承东先生在1959年研究了一个小素数变量的三素数定理，当时他25岁。这个小素数变量不超过n的θ次方，我们的目标是证明θ可以取0，即这个小素数变量有界，从而推导出连哥德巴赫猜想。潘承东先生首先证明了θ可以取1/4。后来很长一段时间，这个领域一直没有进展，直到1995年，詹涛教授把潘教授的定理推到了7/120。这个数字已经比较小了，但还是大于0。
1953年，林尼克发表了一篇70页的论文。在这篇论文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了存在一个固定的非负整数K，使得任何一个大偶数都可以写成两个素数和2的K次方之和。这个定理，看似诋毁哥德巴赫猜想，其实很有深意。我们注意到，可以写成K 2的幂和的整数构成了一个非常稀疏的集合；实际上，对于任意给定的X，X前面的这类整数的个数不会超过log X的k次方，因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但我们可以在整数集合中找到一个非常稀疏的子集。每次我们从这个稀疏子集中取一个元素，粘贴到这两个素数的表达式中，这个表达式就会成立。这里用k来衡量几乎哥德巴赫问题对哥德巴赫猜想的近似程度，k值越小表示近似程度越好。显然，如果k等于0，哥德巴赫问题中几乎2的幂就不再出现，所以林尼克定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的论文没有规定k的允许值，40多年来，人们仍然不知道大k会使林尼克定理成立到什么程度。但是根据Linnik的论证，这个k应该是很大的。1999年，作者与廖明哲和王天泽两位教授合作，首次确定了K的许用值54000。从那时起，这个第一允许值一直在不断提高。其中有两个结果不得不提，那就是李洪泽和王天泽独立得到了k=2000。目前最好的结果k=13是英国数学家D. R. Heath-Brown和德国数学家Puchta的合作，这是一个很大的突破。
学习历史
华庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家。1936-1938年，他留学英国，师从哈代学习数论，开始研究哥德巴赫猜想，验证了几乎所有的偶猜想。
1950年，华从美国回来，在中国科学院数学研究所组织了一次数论讨论课，选择哥德巴赫猜想作为讨论的题目。参加讨论课的学生，如王元、潘成东、陈景润，在证明哥德巴赫猜想方面取得了较好的成绩。
1956年，王元证明了“3+4”；同年，前苏联数学家A. V .诺格拉多夫证明了“3+3”；1957年，王元再次证明了“2+3”；潘承东1962年证明了“1+5”；1963年，潘承东、巴尔巴、王元都证明了“1+4”；1966年，陈景润在对筛选方法进行新的重要改进后证明了“1+2”。
