从自然数到整数，从整数到有理数，到无理数，到实数，都是数域的扩展。
数域的扩展是为了推广我们的对数运算。比如减法需要我们引入负数，开根需要我们引入无理数。
现在，我们来想象一下-1的开根操作。我们想象一个数I，它是一个虚数，所以I的平方等于-1。
这样我们的数域就从实数域扩展到了复数域(z)。我们将任何复数定义为:
这里X和Y是实数，上面的公式有明显的几何意义，就是我们可以把Z表示为xy平面上的一点，也可以把Z表示为二维向量，是一个复向量。
有了复数的定义，我们就很容易得到很多漂亮的数学形式。例如，我们可以定义一个指数函数:
在方程的右边，我们将指数函数展开成级数，我们将这些级数展开的项分别排列成实部和虚部。
这导致了一个重要的关系:
这意味着复矢量有明确的几何意义。让我们假设单位向量1最初在X轴上。现在，让我们把这个单位向量绕原点逆时针旋转θ角。这个运算可以表示为乘以E指数函数。
两个连续的E指数函数相乘意味着连续的旋转，
如果分别展开方程的左右两边，根据实部与实部相等，虚部与虚部相等的条件，得到三角函数和差积的公式。
虚数的引入，使得解微分方程更快。
例如:
这样一个微分方程，它的解是:
一般解是上述两种解的线性叠加:
这在形式上比写三角函数更简单方便。
