中学时，我们都学会了用“度”来描述角的大小，比如圆角360°，直角180°，直角90°，等等。
而且高中的时候我们把角度的单位从“度”改成了“弧度”。此时，上述所有角度都已转换如下:
实际上，对于任意角度N，都可以通过下面的公式转换成ι弧度:
这对于学过高中数学的人来说并不陌生，但学生往往只记住了这种变换方法，却不明白我们为什么要把180度变成无理数，或者可以更直白地问灵魂:初中好像是用角度系统来描述对角线的大小的，那为什么还要引入和学习圆弧系统呢？它的意义是什么？
今天大小吴就和大家探讨一下这个问题。
1.角度系统的起源
这一切都要从角系统和弧系统的历史说起。
在富饶的美索不达米亚平原上，公元前的古巴比伦人主动将圆分成360等分，取其中一等分称之为1“度”，记为1。度数下面有“分”和“秒”的单位，60分为1度，60秒为1分。这是最早的角度系统。
但由于历史悠久，我们无从得知巴比伦人是何时顿悟想出这种测量方法的，也不知道他们为什么要把周长分成360等分。后人主要是这样解释的:
古巴比伦人熟悉60年的计算。
60是一个相对简洁的数字，接近一年中的天数。
30可被8整除，所以圆角为360度时，直角、直角、半直角等典型角度都是整数。
30°有多个因子，使得各种正多边形的内角刚好是整数度(正N边形的内角是[180 (n-2)]/n)。
也许是因为以上原因，聪明的巴比伦人最终选择了360这个神奇的数字作为角度系统的开始。毋庸置疑，它是一个完美的体系，深深影响了后世的数学，并被广泛应用于天文学、航海、测绘等诸多领域，直到现代社会的每一个学生都不得不借鉴。
2.弧度的雏形
巴比伦人对圆的划分在一定程度上影响了后来的古希腊天文学。在古希腊，“地心说”非常流行。人们认为太阳绕着地球做圆周运动，这导致了许多计算圆轨道的问题。此外，人们想知道当弧长已知时，如何找到相应的弦长。正因如此，古希腊希帕科斯(公元前190-120年)第一次绘制了和弦表，托勒密的《大成》一书中也发现了类似的和弦表，使和弦表的思想广为人知。
“地心说”的代表人物托勒密
什么是字符串表？做弦表的目的是在一个半径固定的圆上，求给定圆弧的弦长。Pacos列出了各种弧长L对应的弦长chord(l)(以单位圆为例，弦长已换算成小数):
实际弦表中还有很多其他数据，利用这个表可以解决一系列天文问题。
古希腊人还通过弦表找到了弧长与弦长的一一对应关系，这是最早的三角函数。但是，古希腊人并没有形成“功能”的概念。他们不知不觉地把弧长作为三角函数的自变量，为了单位的统一，他们沿袭了巴比伦人的60进制，用60进制表示弧长的度量。
其实这就是弧度的雏形，“弧长与弦长的对应”可以进一步转化为“角度大小与弦长的对应”。由于以弧长为自变量时需要给出圆的半径，所以以弧度(角度大小)为自变量时不需要给出半径，避免了繁琐的换算。这也就不难理解，后人发明和引入弧系是非常自然和必要的。
3.半弦表
公元6世纪，印度数学家aryabhata遵循Hipakos的弦表思想，进一步做出了半弦表。其中他将弦对着的弧的一半对应于弦的一半。看下图。是不是感觉很熟悉？是的，我们知道在单位圆里，这里的半弦是正弦。所以印度数学家发明的半弦表非常接近现代数学中正弦的定义。在随后的数百年间，文明的交流使得半弦琴在阿拉伯、印度、中国等地区广泛流传。同时第一次出现了余弦、正切等三角概念。
但这一时期的各种三角函数表，仍然是给定半径的(半)弧长与(半)弦长的对应关系，而且形式上大多是表格，角度的范围也只限于[0，180]，并没有真正形成抽象的“三角函数”。
4.arc系统的产生和建立
时间来到14世纪，随着欧洲文艺复兴的兴起，数学和三角学再次繁荣起来。
哥白尼的学生、印度数学家利特克斯在研究古希腊数学时发现，给定半径的圆的角度和弧长其实可以一一对应。所以他在改变正弦的定义上取得了突破。在他之前，正弦的定义是:
Ticks将其更改为:
这真是一个巨大的突破！这样一来，三角学中三角比的定义不再依赖于圆，而只能在直角三角形中讨论。正因为如此，角度成为了三角函数的自变量，随后弧系逐渐走上了历史舞台。
几百年过去了，直到那个被苹果砸中的神一样的人的出现，微积分才终于成为数学的主流。进一步，人们开始研究包括三角函数在内的各种抽象函数，人们早已习惯使用十进制，这当然也包括弦长的计算。
但这样会造成一个问题:十进制中的弦长与十六进制中的角度不统一，人们在查阅三角函数表时会感到极其繁琐。在这种情况下，角度系统终于不再适合人们对数学研究的需求。
于是，人们开始考虑用新的单位制来测量角度，弧度制终于诞生了！弧度是由英国数学家罗杰·科尔特斯在大约1714年提出的。这位伟大的数学家深知这种测角方法的优越性和必要性。
5.圆弧系统与数学公式的兼容性
在弧系下，很多微分、积分、级数公式在形式上得到了简化，这也是后来数学家偏爱弧系的原因。
以数学分析中最重要、最基本的极限为例:
这个公式是基于弧系的，所以才这么美观简洁。如果这里的角度x是在角度系统下讨论的，由于角度系统下的数据是圆弧系统下的180/π倍，那么重要的极限就变成了:
这个公式很不雅观。
另一个例子是正弦函数的导数公式:
这种简洁的形式仍然可以出现在arc系统下，它会变成:
你会选择学哪个公式？毫无疑问是前者。
包括最经典的“上帝公式”
它将数学中最重要的常数与最重要的两个实数完美地结合在一起，而这样美丽的形式只有在弧系下才能产生。
现在，你知道我们为什么要学习arc系统吗？
参考文献[1]蒋卓浩，何。电弧系统发展的历史渊源[J].数学通报，2016，55(07):14-17。[2]李忠。为什么要用电弧系统[J]。数学通报，2009，48 (11): 1-3
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不，我代表中国科学院物理研究所
来源:大小吴的数学课堂
编辑:趣味超人
