寻找未知特性的缺陷产品的“通用模型”
2018年8月11日星期六
本文给出了解决“N-1中缺陷产品特性未知”问题的一般模型。
首先重申一下问题的假设:
1.次品清单由质量定义；
2.缺陷产品是独特的；
3.其他合格产品的质量是一致的。
问题的技术手段:用失重天平进行比较称重。
问题的目标是用最少的称重次数找出次品，知道次品的重量特征，并给出一个完整的包括所有可能的称重步骤的称重实验程序。
一般来说，对于N，按照“尽可能分成三份”的最优策略，做如下分类:
(1)n=3a
(2)n=3a+1
(3)n=3a+2
其中:N，a∈N，a≥1。(如果a = 0，那么有n = 0，1，2。这三种情况没有讨论的意义:0-1不存在，1-1不良品是唯一需要发现的，2-1不良品特征未知，永远无法发现。因此，讨论仅限于n≥3。上面的分类其实就是n除以3，余数为0，1，2的三种情况。)
由于对情况(3)的讨论涵盖了情况(1)和(2)，本文重点讨论情况(3)，情况(1)和(2)很容易类比。
(A)对于n = 3a+2，分组如下:
N(3个最大的相同组，剩余组)= n (a组，B组，C组，剩余组)= n(A，A，A，2)
(2)一个引理:
如果经过两次比较后可以获得缺陷产品的特性，则至少需要三组相同的产品，如下所示:
|A|=|B|=|C|
(|A|:表示集合A中元素的个数，其余相同)
(重要性★★★★)
第一次:(A)←→(B)
第二次:(A)←→(C)
0-1:如果A和B平衡，C含有不良品，通过第二次称重可以知道不良品的重量；
1-0:如果A和B不平衡，A和C第二次平衡，B含有不良品，根据第一次称重可以知道不良品的重量；
1-1:如果A和B不平衡，第二次A和C不平衡，A含有不良品，从第一次或第二次称重就可以知道不良品的重量。
(符号的含义请参考前面的“特例1-5-1”破组法“寻找特性未知的不良品”)
(3)特殊情况:
当a = 0，n = 2时，2对1的缺陷产品特征是未知的，并且永远无法发现。原因可以理解为:不满足引理中“三个同群”的条件。
(IV)对于n = 3a+2，取3个“最大相同组”:
n(a，a，a，2)=n(a-1，a-1，a-1，5)=n(a-2，a-2，a-2，8)=……
只有取三个最大的同组(A，A，A)，剩下的组才能保持最小，剩下的组就是此时的余数2。
上面的分组把N分成了四组，为了让模型更接近“平分三分”的最优策略，剩下的一组是最小的。下面的推理过程和结论将有助于理解其中的原因。
(5)开始称重实验:
第一步:(A)←→(B)
第二步:(A)←→(C)
第三步:
分两种情况讨论:
ⅰ.缺陷产品属于3个最大的相同类别。
此时，会出现前两步:
1-1:不良品在A组，不良品特性已知；
1-0:不良品在B组，不良品的特性已知；
0-1:不良品在C组，不良品的特性已知。
问题转化为“N-2中的不良品特征已知”，总称重次数为:
(其中:M下标n-2表示“n-2知道缺陷产品特性的次数”)
二。残次品在剩下的一组。
也就是说，称重的前两步出现了:0-0。
设剩余组中的两个乘积为α和β。
结果只有一个:1。
从相同的A、B、C三组中选择一个合格产品:γ。与任何α或β进行比较和权衡:
1:说明α是次品，根据①或②可知；
0:表示β有缺陷，根据①重量可知。
这样的话:总共称2+2 = 4次。
㈥最后结论:
(重要性★★★★★)
(七)模型解的例子:
例1 29 Find 1不良品的特性未知。
“已知N发现1个不良品”的次数再次显示在下表中。原因请参考之前的《小学数学寻找次品简明写法》。
“发现1个已知特性的不良品”次数对照表
例2 28发现1不良品的特性未知。
例3 27发现1不良品的特性未知。
不良品的特性未知。
例5 10发现1不良品的特性未知。
例6 3发现1不良品的特性未知。
(8)补充说明:
1.该模型的应用可分为三种情况(n mod 3 = 0，1，2)。一般来说，不能保证提供“发现1个特性未知的不良品”的最优次数，但肯定能提供一个“可行的解决方案”和具体的“权衡实验步骤”；
2.与“破组法”和“换组法”相比，该模型中的每个组都是独立的，互不影响。实验操作简单易懂，采用“简单模型”。但是，不排除潜在的更好的模式；
3.该模型发展了“公式A”的思想，期望通过“额外称重”和“正常首重”来了解不良品的特性，将不良品的范围从三组缩小到一组。也可以看出，在3 | n(可除)的情况下，“公式A”的结果与该模型的结果完全一致；在3 ∤n(不可分)的情况下，当n的值正好是3的幂加1和2时，“公式a”的结果就会是错误的。所谓“3的幂”，指的是正常情况下找到“已知N的缺陷产品的特性”的次数的规则。详情请参考上面的“简明写作”。
再见。
