傅里叶变换性质

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 扩展资料

傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

定义：

f(t)是t的'周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。

三角波的傅里叶变换公式是：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅里叶变换是描述信号的需要。只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好。信号特征可以用特征值进行量化。

所谓特征值，是指可以定量描述一个波形的某种特征的数值。全面描述一个波形，可能需要多个特征值。比如说：正弦波可以用幅值和频率两个特征值全面描述；方波可以用幅值、频率和占空比三个特征值全面描述(单个周期信号不考虑相位)。

上述特征值，我们可以通过示波器观测实时波形获取，称为时域分析法。

傅里叶变换的目的

傅里叶变换是一种信号分析方法，让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。把信号通过频谱的方式(包括幅值谱、相位谱和功率谱)进行准确的、定量的描述。这就是傅里叶变换的主要目的。

傅里叶变换 - 百度百科

傅立叶变换分类：

四种原信号图例：

一般是从傅立叶级数开始导出傅立叶变换的。傅立叶级数很漂亮，物理意义相当清晰。它表示一个周期信号可以用一族正交完备的正弦波通过线性组合得到

正弦函数是简单的周期函数：y=Asin(wt+Φ)，其中周期为2π/w，A为振幅，w为角频率，Φ为初相位。

1 傅立叶级数公式

给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数：

其中傅里叶系数为：

2 傅立叶级数性质

收敛性

在闭区间上满足 狄利克雷 条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：

正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧式空间中，互相垂直的向量之间是正交的。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

奇偶性

奇函数f0可以表示为正弦级数，而偶函数fe则可以表示成余弦级数：

几种常见波形的傅里叶级数展开式：

1 梯形波（奇函数）

如上图所示，该梯形波是一个周期为T的奇函数，幅值为Amax，上升沿时间为d，在区间[0,PI/2]的函数表达式为：

由奇偶性可知，该波形在区间[-PI/2,PI/2]的傅里叶级数展开式为：

其中傅里叶系数为：

将f(t)函数代入傅里叶系数表达式中，可得：

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