标准正态分布性质是什么

标准正态分布函数的性质：密度函数关于平均值对称。

函数曲线下68268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。函数曲线的反曲点为离平均数一个标准差距离的位置。平均值与它的众数以及中位数同一数值。95449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。

基本介绍

标准正态分布是以0为均数，以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。标准正态分布在数学、物理及工程等领域都非常重要，在统计学的许多方面也有着重大的影响力。

正态分布也称为高斯分布。客观世界中很多变量都服从或近似服从正态分布，且正态分布具有很好的数学性质，所以正态分布也是人们研究最多的分布之一。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。

如果非标准正态分布X~N(μ,σ^2)，那么关于X的一个一次函数

(X-μ)/σ

，就一定是服从标准正态分布N(0,1)。

举个具体的例子，一个量X，是非标准正态分布，期望是10，方差是5^2（即X~N(10,5^2)）；那么对于X的线性函数Y=(X-10)/5，Y就是服从标准正态分布的Y~N(0,1)。

（1）正态分布，也称“常态分布”，又名高斯分布，最早由A棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。CF高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

（2）PS拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

（3）正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

（4）若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ

=

0,σ

=

1时的正态分布是标准正态分布。

（5）由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

解：

用“Φ()”表示标准正态du分布函数N(0,1)的值

∵X~N(3,4)，∴(X-3)/2~N(0,1)。

∴(1)P{丨X丨>2}=P(X>2)+P(X<-2)。

而P(X>2)=P[(x-3)/2>(2-3)/2=-1/2]=1-Φ(-1/2)=Φ(1/2)；P(X<-2)=P[(x-3)/2<(-2-3)/2=-5/2]=Φ(-5/2)=1-Φ(5/2)。

查标准正态分布表Φ(1/2)=06915、Φ(5/2)=09938

∴P{丨X丨>2}=Φ(1/2)+1-Φ(5/2)=06915+1-09938=06977。

(2)P{X>3}=P[(x-3)/2>(3-3)/2=0]=1-Φ(0)。而Φ(0)=1/2，∴P{X>3}=1-1/2=1/2。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

参考资料来源：百度百科-正态分布

正态分布的标准化需要礼仪相反侧面积相等若分别都服从正态分布，那么，aX+bY也服从正态分布、怎么样把普通正态分布转化为标准正态分布。服从正态分布，则先计算该组数据的期望μ及标准差σ，则新构成的这一组数据Y-σ服从标准正态分布，即可以得出P[- Y-]。不同参数的正态分布之间需要相互比较时，就需要按照上述方式转换为标准正态分布、实际应用，某金融机构的的风险水平下资产损失为亿，即有的可能性会亏损亿元，就是即为风险值。金融机构的风险控制，一般管理左尾概率，右尾概率一般不去管它，因为右尾都是高兴的事情、作业：上证指数月报酬率的分布，计算平均数、标准差。若为标准正态分布，将其平方2的分布就是卡方分布。因为x+∞，但平方之后，x+∞，卡方分布只有一个参数，即自由度，所以卡方分布是正态分布的亲戚、若X/Y独立，且分别都是标准正态分布，+Y2也是卡方分布，自由度为。以此类推自由度为的卡方分布，就是个标准正态分布的平方之总和。

标准正态分布密度函数公式：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

图形特征：

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

若 服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

面积分布

1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2、正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=06826

横轴区间（μ-196σ,μ+196σ）内的面积为95449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=09544

横轴区间（μ-258σ,μ+258σ）内的面积为99730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=09974

参考资料：

正态分布为什么标准化。

正态分布做标准化后，分不简单了，密度函数也简单了。并且可以编出分布表，查出概率值，正态分布是最重要的分布，但是由密度积分去计算事件的精确概率值或表达式是不可能的，只能查表或者利用计算机近似，对所有的实数μ和所有的正数（类似于上下颠倒的Q的符号）编表是不能想象的。而只能就标准化正态分布编表。另一方面，由标准正态分布的分布性质的进一步研究，就很容易得到一般正态分布的性质和进一步的研究，因此对正态的研究，标准化是重要的技术。

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