反向柯西不等式

柯西不等式柯西（Cauchy）不等式

等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数

=

恒成立

即

当且仅当 即 时等号成立

证明（2）数学归纳法

（1）当 时 左式= 右式=

显然 左式=右式

当 时， 右式 右式

仅当即 即 时等号成立

故 时 不等式成立

（2）假设 时，不等式成立

即

当 ，k为常数， 或 时等号成立

设

则

当 ，k为常数， 或 时等号成立

即 时不等式成立

综合（1）（2）可知不等式成立

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛

柯西分布,

是因大数学家柯西(Cauchy)而命名。随机变数X称为有分布,

,

a>0,

若其pdf为

分布函数为

对X有分布,

令

,

则Y有分布。

对於分布称为标准的柯西分布。常态分布也有类似的性质。

柯西分布有二参数θ,a,

pdf之图形亦为钟形,

不仔细看,

还不容易与常态分布pdf之图形区别。下图中,

我们将及

pdf之图形放在一起比较。可发现,

柯西分布pdf之图形下降至0的速度慢很多。

柯西分布之一特性就是期望值与变异数均不存在。

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的 柯西不等式的一般证法有以下几种： ■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) (∑bi^2) ≥ (∑ai bi)^2 我们令 f(x) = ∑(ai + x bi)^2 = (∑bi^2) x^2 + 2 (∑ai bi) x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 (∑ai bi)^2 - 4 (∑ai^2) (∑bi^2) ≤ 0 于是移项得到结论。

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