抽象代数 群论，问题如下

对于对称群Sn来说（An是Sn的子群，下述命题仍成立，但具体操作时注意一定是偶置换就好了，也就是，所有无交轮换的阶为偶的恰有偶个）

任何一个元素都可以分解为若干个不交的轮换的乘积。

若干个不交的轮换的乘积的阶等于这若个轮换的阶的最小公倍数。

（这两个命题，你自行证明）

现在分析第一题：

3阶元素，若干个数的最小公倍数为3，那么这些数里面只能有1和3

对于轮换的阶来说，阶为1的就是恒等映射。故只有阶为3的，那么在A6，情况就很显然了，一个3-轮换，满足，一共有C(3,6)种（1到6选3个，无需排序），两个无交的3-轮换当然也是偶置换，一样有C(3,6)种

所以一共有2C(3,6)种

再分析第二题。

8阶元素，若干个数的最小公倍数为8，那么这些数里面一定要有8

但注意到8是偶数，那么需要另一个偶阶的与他乘在一起才能是偶置换。

那么这样至少需要一对无交轮换:一个对换和一个8-轮换。

那么显然，n最小取10

其他分析也相仿。

Ps:代数的英文我看的懂，虽然不会写。。。汗。。。英文永远是心中的痛。。。。。。。。

你这句话也说错了：阶为6的偶置换群A6里面

A6的阶为6！/2

阶 (群论) Ordre (théorie des groupes)

在群论这一数学的分支里，阶这一词被使用在两个相关连的意义上：

一个群的阶是指其 势，即其元素的个数；

一个群内的一个元素a之阶（有时称为周期）是指会使得a = e的最小正整数m（其中的e为这个群的单比特素，且a为a的m次幂）。若没有此数存在，则称a有无限阶。有限群的所有元素有有限阶。

一个群G的阶被标记为ord(G)或|G|，而一个元素的阶则标记为ord(a)或|a|。

1、由于G/Z(G)是循环群。不妨设b为该循环群的生成元。则

g+Z(G)=b^k，对于任意g∈G。

则g1g2=(b^k－Z(G))(b^l－Z(G))

=(b^l－Z(G))(b^k－Z(G))=g2g1。

故群G是交换群。

2、是同构的，由于Z/3Z和2Z/6Z都是三个元素的环。因此是同构的。同构映射Z/2Z到2Z/6Z是

[1]－>[2]，[2]－>[4]，[0]－>[0]

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