可设椭圆方程为
(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)
两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)
长轴的两个端点A1(-a，0)，A2(a，0)
因点P在椭圆上，故可设P(acost，bsint)， t∈R。
由两点间距离公式可得
|PF1|²=(acost+c)²+(bsint)²
=a²cos²t+2accost+c²+b²sin²t
=(a²-b²)cos²t+2accost+c²+b²
=c²cos²t+2accost+a²
=(a+ccost)²
由-1≤cost≤1 且a＞c＞0可知
0＜a-c≤a+ccost≤a+c
∴|PF1|=a+ccost
∴| PF1|min=a-c，此时，cost=-1，sint=0，P(-a，0)
又|PF1|+|PF2|=2a
∴当|PF1|min=a-c时，|PF2|max=a+c，
此时点P在长轴的一个端点上。
扩展资料：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点，F为焦点)
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c，0)，（c，0)。
当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c，0）F2(c，0)
当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0，c)
参考资料来源：百度百科--椭圆的标准方程
椭圆的定义是：到给定两点（椭圆的两个焦点）的距离和全相等的点的轨迹为了简单起见（就是指标准方程）,设(c,0),(-c,0)为椭圆的两个焦点,设P（x,y）为椭圆轨迹上的一点,则根号[(x-c)^2+y^2]+根号[(x+c)^2+y^2]=2a(这里设定值为2a,因为a将会是椭圆的长半轴长度),这里a是一个常数两边平方后得：(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2+2根号[(x-c)^2+y^2][(x+c)^2+y^2]=4a^2,移项后再平方4(x^2+c^2+y^2-2a^2)^2=[(x-c)^2+y^2][(x+c)^2+y^2],展开后化简最后可得：(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2),令b^2=c^2-a^2(b为短半轴长度),则b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2,因此方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为 2a。
椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为2b。
焦点距离：2c；
离心率：c/a。
平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）
扩展资料：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)
根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a²/b²=1/（e²-1））。
注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。
椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。
1、当椭圆的焦点在X轴上：
顶点坐标为（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）
2、当椭圆的焦点在y轴上：
顶点坐标为（0，a）（0，-a）（b，0）（-b，0）
椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。
又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n），即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ。
扩展资料：
设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。
设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
椭圆公式中的a，b，c的关系是a^2=b^2+c^2（a>b>0）。
长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c。
椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点，其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
椭圆性质介绍
1、范围：焦点在x轴上，-a≤x≤a，-b≤y≤b，焦点在y轴上，-b≤x≤b，-a≤y≤a。
2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：（a，0），（-a，0），（0，b），（0，-b）。
4、离心率：e=c/a 或 e=√（1-b^2/a²）。
5、离心率范围：0<e<1。
6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。
由题可得c/a=1/2 |3c+40|/（3²+4²）^1/2=3/5
解得c=1 a=2 所以b=3^1/2
所以方程为x²/4+y²/3=1
解：∵椭圆C方程为:x²/a²+y²/b²=1
过定点m(1,3/2)
∴1/a²+9/4b²=1
又∵离心率e=c/a=1/2
a²=b²+c²
解得：a²=4，b²=3，c²=1
即椭圆方程为x²/4+y²/3=1
椭圆的方程的求法是解析几何中的一个重要内容，求椭圆的方程的主要方法有直接法、定义法、代入法，下面分类举例说明之。
一、直接法
直接从条件中获取信息，建立方程求椭圆的方程。
例1．已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为求椭圆C的方程。
解：设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．
点评：本题考查了椭圆中的基本量的关系，列出方程即能获解。此类问题常常出现在高考的解答题中的第一问，考查同学们对基础知识的掌握。
二、定义法
利用椭圆的定义，到两个定点的距离之和为定值或到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（此数大于零小于1），就可以得到所求的椭圆的方程。
例2已知ΔABC中，ÐA,ÐB,ÐC所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程
解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2,
∴椭圆方程为,
又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,
因此点C的轨迹方程是：(─2<x<0)
点评：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键本题在求出了方程以后讨论x的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性
三、代入法
若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标代入已知曲线方程，即得P的轨迹方程，这种方法称为代入法（或相关点法）。
例3．已知向量a=(1,1), b=(1,0),c满足a·c=0且|a|=|c|, b·c>0。
（1）求向量c；
（2）若映射f(x,y)→(x′,y′)=xa+2yc，若将P(x,y)看作点的坐标，点(x′,y′)在圆x2+y2=8上运动，求点P(x,y)的轨迹方程；
解：（1）设c=(x,y)，由题意有
∵b·c=x>0，∴c=(1,-1)
（2）由题意有：
f(x,y)=x(1,1)+2y(1,-1)=(x+2y,x-2y),
x′=x+2y, y′=x-2y
∵x′2+y′2=8,
∴(x+2y)2+(x-2y)2=8,
∴2x2+8y2=8,即x2+4y2=4，
P(x,y)轨迹方程为
点评：本题利用已知曲线（圆）来求出了所求曲线的方程，这种方法适应范围广泛，所用的数学思想是化归思想。
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