小学数学在训练倒推法中如何培养学生的推理能力的案例

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本文作者

宋少卫，青少年学习心理专家，清华大学心理学系学习科学实验室执行主任。

案例背景

在高三总复习阶段的一次统练中，鹏飞的物理卷子最后两道十几分的大题一个字都没有写。班主任问他原因，他说完全不会做。

这次考试严重打击了鹏飞的自信心，甚至让他产生了厌学心理，不想上物理课了。后来，经班主任介绍，鹏飞来到了我的工作室寻求帮助。

初诊接待

由于鹏飞的治疗目的和切入点都十分明确，我们彼此简单介绍后，便直奔主题。

鹏飞拿出这次的物理试卷，让我参考。 从整份卷子来看， 除了那两道空白题之外，其他题目的正确率还是比较高的。 我 先安抚了鹏飞的情绪，引导他用成长型思维来应对眼前的失败，“现在出现的所有问题都是来帮助我们更好地应对高考的！ ”希望他能够更加积极地看待这次考试。

接着，我和鹏飞一起回忆当时进行物理考试的过程。

图源：pexls

“前面的题我做得很顺利，本来越做越放松，还预感这次一定能考个不错的分数，甚至还稍稍走神，畅想了一下高考，觉得高考物理应该蛮有把握的。”

鹏飞低头看着左前方的桌面，回忆道。

“张小易跟我是邻桌，他是物理尖子。考试时他做得比我快一些。当他翻到背面大题时，我听到他叹了口气，当时心里就想大题估计很难。后来，等我做到这部分时，发现果然超级难，题都有点看不懂，脑子一下就懵了。”

“嗯。”我点点头，鼓励他继续说下去。

“我试着做了一下第一道大题，完全找不到思路，浪费了差不多有十多分钟吧，然后我决定放弃这道题，赶紧做下一道，结果也是不会。”鹏飞皱着眉说。

“鹏飞，你还记得做到后面大题的时候还剩多少时间吗？”

“差不多40分钟吧。”

“那这40分钟你都做了哪些努力呢？”

“就是在草稿纸上试着做题，我知道可能做不出来，所以没在试卷上写，先写在了草稿纸上。”

“怪不得试卷上是空白的，你尝试解题的过程都在草稿纸上？”

“是的。”

初步分析

鹏飞的物理基础问题不大。我猜他是被这两道看上去不知从何下手的题目吓住了。在紧张的考试中，有的同学把题读了一遍却理不出头绪，就迅速断定这道题目太难，自己做不出来，困在畏难情绪里。这种负面思维恰恰又会阻碍他们进一步正常思考，导致本来有机会解出的题目也轻易放弃。

当然，鹏飞在做这两道大题时没有思路，有很大可能是面对复杂难题时，对已知信息推理加工的能力不足。但就鹏飞的回忆和表述来看，他在价值决策上出现的问题也造成了很大的影响。由于当时畏难和不自信的情绪没有得到及时地调整，鹏飞在进行逻辑推理时受阻很大。同时，鹏飞演算的过程都写在了草稿纸上，导致卷面完全空白，解题的过程得分点一分也拿不到，这也体现出他应试策略上的不足。

图源：pexls

治疗过程

为了帮助鹏飞建立在面对难题时建构逻辑通道的意识和韧性，我决定在鹏飞的兴趣点上找个切入点，一起体验一番。

“鹏飞，我们先放下试卷，聊聊天吧。平时你有什么兴趣爱好呢？”

“嗯，我喜欢听歌、看**。”

“好啊，说说看，哪些**是你最喜欢的？”我也很喜欢**，而且**承载力巨大，可以是一个好的切入点。

“科幻类的吧！比如《哈利波特》系列，每一部**我都超喜欢，有几部反复看了好几次！”聊起喜欢的**，鹏飞皱着的眉头暂时舒展开来，眼睛也跟着亮了起来。

“在魔法世界里，你最喜欢哪个角色呢？”我接着追问道。

“里面好多角色我都很喜欢，比如哈利、斯内普教授、小天狼星。”

《哈利波特与魔法石》**海报

和鹏飞聊了几句**的情节，看到他的积极性已经被充分调动起来，我决定就在《哈利波特》中寻找一个合适的例子。

“霍格沃兹里发生了很多精彩的故事，比如《哈利波特与魔法石》里，斯内普教授的那堂魔法药水课就令我印象很深，你还记不记得这道药水的谜题？”我把从手机上搜到的这道题目的文字和，拿给鹏飞看。

“当然记得！但是当时看书时还真没有仔细地推敲。”鹏飞显得有些跃跃欲试，对着题目仔细地阅读起来。

中的桌子上有一排七个药水瓶，边上放着一纸卷轴，卷轴里写着有关这排药水的谜题：

危险在眼前，安全在后方

我们中间有两个是你的助手

把它们喝下去，一个引领你向前，另一个把你送回原来的地方

两个里面装的是荨麻酒

三瓶是毒药，他们是杀手，正排着队等候

选择吧！除非你希望就此耽搁：

第一，无论毒药怎样狡猾，其实他们都站在荨麻酒的左方；

第二，左右两端的瓶里的药水不同，如果你想前进，它们都不会对你产生作用；

第三，你会发现瓶子大小各不相等，在巨人和侏儒里面没有藏着死神；

第四，左边第二和右边第二，虽然模样不同，味道却是一样。

“那我们一起来推导一下，这七个瓶子里装的都是什么。鹏飞你现在有什么思路呢？”我趁热打铁道。

“宋老师，您就直接告诉我推理的方法吧！”鹏飞着急地说。

我笑了笑，看到鹏飞的积极性很高，显然领会到了我给他出这道题的用

意，于是引导说：“那我们就简单地分两步走，第一步把这七个瓶子从左至右依次标号①到⑦，第二步找寻已知之间的联系一步步向下推导。”

鹏飞边听着我的话，边在白纸上迅速地誊写推导起来。鹏飞每进行一步正确的推理，我都会在一旁微微点头或用眼神、话语表示肯定。这道题的背景信息较多，但条件之间的关系真正推导起来并不复杂，没几分钟，鹏飞就完成了这道趣味推理：

“Perfect!”鹏飞露出胜利的微笑，“这道题比起高中物理来说简单多了，一步步推就行嘛。”

“是吧，从已知条件到求解目标，原本是一个暗黑通道，但是只要我们梳理已知条件，找到关联性，并分步递进推理，就一定可以找到那条正确有效的逻辑通道。你说，一道复杂的物理题，背后的解题逻辑是不是也一样呢？”

“老师，我明白了。我马上再试一下难住我的这两道题。”鹏飞仿若顿悟，重新翻开物理卷子，标标画画起来，写着写着又踌躇停笔。

“有困难吗？”

“是的！考试的时候我做了40分钟也没做出来，根本不会！”

“如果我说你能做出来，你相信吗？”

“这样吧，你拿一张白纸，按我说的要求去做。我会问你一些问题，你直接回答我就行。”

接下来，我让鹏飞读完第一道大题的题干，把所有的已知条件列出来，然后根据这些已知条件去猜这道题的出题人可能要考什么原理。虽然有些茫然，但鹏飞还是在我的鼓励下将能想到的原理和公式一一列写了出来。接着我让鹏飞对比已知条件和原理公式，看看缺少哪些中间变量。最后再看题目求解目标，倒推只需知道哪些条件就可以得到结果。

鹏飞轻轻转动着手中的圆珠笔，再次进入思索和尝试，突然他喊道：“宋老师，我会了！”

我微笑着点点头，看着他先是逆推一步，而后正推了两步，最后终于打通了题目的逻辑通道，成功解出了这道大题。

“Perfect!”我欣慰地鼓励道。

回顾总结

考试中有许多表面上看起来很难的题目，其实只是在基本题型上做了一些变形，比如：把某个已知变成需要求解的未知，从而增加了一定难度，但内容上并没有超出知识大纲。如果解题时第一遍没有找到解题思路，那么正确的应对策略就应该是首先处理好自己的情绪变化，告诉自己这种情况属于考试中的正常现象，接着启动二次解题程序，进入规范解题步骤：列已知、猜原理、建逻辑通道。

其中，建立逻辑通道是解题的关键。如果学生在平时练习简单题时能够经常有意识地总结出常用的解题“逻辑通道”，在遇到难题时就可以灵活调用和嵌套这些“通道”储备，有目标地去搜寻所需条件、推理中间量，进而打通难题的“通道”，很多复杂问题都会迎刃而解。

鹏飞的物理基础其实并不差，之所以在两道大题上“空白甩题”，便是因为他缺乏进行二次解题的坚持意识和实用程序，而情绪又陷在第一次解题失败的苦恼中，价值决策没能帮助他做出正确的应对，以至于无法完成正确的逻辑通道建构。

因此，我结合他的看**兴趣，选择了一道哈利波特魔法主题的趣味推理，一方面调动鹏飞的积极性、放松他的心态，一方面让鹏飞跑一遍搭建“逻辑通道”的流程。这时，再回过头去看那两道他此前放弃的物理大题。

由于消极情绪得到了有效处理，鹏飞静下心来，按照建构逻辑通道的步骤要求，一步步理顺已知条件、原理公式和求解目标之间的关系，最终顺利完成了解题。

图源：pexls

其实，很多人误以为学霸是什么题都会做！

记得我当年高考的时候，经常遇到初看感觉很难的题目，但我不会放弃。因为我保持一种心理上的自我暗示，那就是这种处理难题的感觉又来了，上次我就是这样尝试，最终做出来的！

然后，我会规范列写已知条件（会做的题目就不必列写）；然后根据已知条件猜测可用原理，并罗列公式；再用原理公式将已知条件组合、串联起来，就能一步步搭建出解题的逻辑通道了。因此，做大题、难题觉得没有思路时，不要直接空着不做，而要按部就班列写已知条件、公式，并在此基础上完成逻辑通道建构过程。

当然，这背后还有一个重要的因素，那就是人脑的内存——工作记忆单元实际很少，只有7±2。因此，人脑很难在不动笔辅助的状态下，完成难题逻辑思考。

当我们把需要记住的已知信息和需要想着的公式原理列写出来后，就可以大大降低对大脑工作尤其是逻辑推理的强度要求，解题能力会得到大幅提升。即便最终没能求出正确答案，至少已经完成了很多步解题过程，可以获得相当一部分过程分，这本身也是一种正确的应试策略。

手记点睛

难题之难，关键在逻辑推理！每增加一个环节的推理过程，题目的难度就会增加甚至不止一分。要提高解决难题的能力，就要让学生学会由已知条件、原理公式和求解目标出发，来推导和建构逻辑通道的本领。

作者：宋少卫

文源：《学习治疗手记》

部分图源于网络

版权归原作者所有

编辑：张润昕

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不代表中科院物理所立场

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来源：原点阅读

编辑：牧鱼

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倒推法估算主力持仓的步骤：

1、倒推法适用于股价在相对低位已经有过一波涨幅的股票。

2、找到股价拉升后的一个高点，这个高点要相比拉升前的股价上涨至少20%左右，低于这个数值，无法判断股价的拉升是否是主力所为。

3、用软件上的十字光标定点，记住拉升后股价高点位置时筹码分布图上获利盘的值。

4、用键盘左移功能将十字光标左移到股价上涨前的位置，然后定点，读取此时筹码分布图上获利盘的值，并与拉升后的获利盘的值作对比。

5、如果获利盘的比值涨幅不大，未达到获利80%的程度，说明股价还有一定的涨升空间，投资者可再参考其他指标，可适当介入；如果获利盘的比值短时间内就达到甚至超过80%的幅度，股价已经处在高位，就要慎入，或许是主力波段的最后一拉。

内容与数据仅供参考，不构成投资建议，使用前核实，据此操作，风险自担。

（一）倒推法

抢30是我国民间的一个两人游戏,具有很强的对抗性和娱乐性抢30游戏通常有两种玩法

（1）两人从1开始轮流报数,每人每次可报一个数或两个连续的数,谁先报到30,谁就为胜方

（2）两人从1开始轮流报数,每人每次可报一个数或两个连续的数,同时把两个人报出的所有数累加,谁先使这个累加数最先达到30,谁就为胜方

解决最个问题的一般策略是用倒推法

以（1）为例,要抢到30,必须抢到27；要抢到27,必须抢到24如此倒推回去,可得到一系列关键数30、27、24、21、18、……9、6、3

根据以上分析,抢30游戏本身并不是一个公平的游戏,初始数和先后顺序已经决定了最后的结果,因为只有后报数者才能抢到3的倍数,后报数者有必胜策略

（二）关键因子

所有这些关键数都是3的倍数3是两个报数者年内能够报出的最大数与最小数的和在类似游戏中,我们把游戏者所能用到的最大数和最小数之和称之为关键因子k,关键数就是k的倍数在抢30的游戏中,关键因子k等于3

又例如,抢100报数游戏中,如果每人可报数为1至9个连续的自然数,谁先报到100谁就是胜利者这里的关键因子k就是可报最大数9和可报最小数1的和,即k=10

报数获胜的策略就是：（1）让对方先报数；（2）每次报数为关键因子减去对方所报数这样自己每次所报数都是关键数

如果对方一定要先报,你只能期待对方不懂策略或者大意出错了

你好：丙未倒给甲时有：20/（1-1/5）=25升

丙倒给甲：251/5=5升

甲倒给乙后有：20-5=15升

甲原有：15/1/2=30升

乙原有：（20-301/2）/（1-1/3）=15升

丙原有：60-30-15=15升

庭审法官归纳争议焦点

庭审法官归纳争议焦点，如今法院案件猛增，只有争议焦点准确无误，说理足够透彻，才能在保证判决结果准确的同时提高审判效率，以确保法律的有效实施，下面一起来看看庭审法官归纳争议焦点。

庭审法官归纳争议焦点1

（一）排除法

案件争议焦点的归纳是在庭审过程中作出，应首先认真听取原、被告的诉辩主张，归纳出双方当事人无争议的部分，排除不构成或推定不构成争议焦点的事实，然后对于双方陈述有争议的部分划定主次，主要争议的那些事实可以确定为争议焦点。

对争议焦点的归纳，是一个逐步需要认知的过程，不可能一蹴而就，尤其对一些法律关系较为复杂的案件，在我们自己的审理程序安排上可以分阶段进行，通过庭审前阅卷初步了解案情，需要的话进行庭前证据交换来部分排除，这样到法庭调查和法庭辩论阶段就会逐步形成，如此对争议焦点的层层筛选，能更为准确。

（二）类案分析法

我国虽然不适用判例法，但判例的指导作用是显而易见的，也是准确适用法律的有效方法，对于指导法官归纳争议焦点，特别对案情复杂、法律适用困难的案件，分析类似案例，吸取经验，能更有效地归纳出争议焦点。

（三）要件分析法

按照民事法律行为的构成要件，通盘依次检查，能够全面、准确地归纳案件争议焦点。比如在侵权纠纷案件中，法官首先明确侵权民事法律行为的构成要件即损害事实、过错及因果关系，对照构成要件依次排查，双方当事人没有争议的作为案件事实予以认定，当事人有争议的就应当作为争议焦点，来统领当事人举证、质证、辩论和认证，就会使庭审过程结构清晰，逻辑严密，取得好的庭审效果。

（四）“倒推法”

这是参照中学时期解几何题经常用“倒推法”，即倒着推理。正常推理是根据已知的条件推出结论，倒着推理是根据结论向前推出应具备的条件，“倒推法”在寻找争议焦点上效果也是蛮不错的。“倒推法”思维方式，其实是要件法分析法的一个延伸，也可以称为逆向要件分析法。

（五）综合判断法

为了避免片面适用某一种方法，造成归纳争议焦点不准确，庭审法官可以分别适用上述方法，进行筛选，必要时充分利用合议制度、定期的案件讨论例会等方式，各抒己见，切实保证案件争议焦点的归纳质量。

总之，归纳争议焦点要本着一个原则，从确定的争议焦点上就能看出下步的审理思路，便于下步的法庭调查。如果确定的争议焦点不具体、不准确，那么这个争议焦点就失去了其应有的价值。所以，准确地归纳争议焦点，有利于确定庭审重点，正确引导当事人举证质证，从而有效地开展庭审活动，提高庭审质量和效率。

庭审法官归纳争议焦点2

争议焦点内涵之厘定

我国民事诉讼法及司法解释并没有对“争议焦点”作出明确的规定，理论界与实务界研究的也不多。本着法无精确之意而委诸善良人之解释的原则，个人认为案件的争议焦点是原被告双方围绕案件事实、证据、法律适用等存有实质矛盾和分歧的'内容。

主要存在三个方面的争议内容：一是，程序上的争议，例如管辖、回避问题；二是，证据上的争议，主要围绕证据的三性（真实性、合法性、关联性）；三是法律的适用，例如原告请求的基础依据，裁判的依据等。

比如一起简单的民间借贷案件，常见的案件争议焦点为：一是受案法院是否对本案享有管辖权；二是主审法官、陪审员、书记员是否应当回避；三是借贷是否已经过了诉讼时效；四是借贷是否是真实，五是假若借贷是真实的，被告是否应向原告偿还本金及其利息。

可见通过案件争议焦点的梳理与归纳，能很快明确案件的审理重心，推进诉讼程序的进行，提高诉讼效率。同时根据“谁主张谁举证的原则”，根据归纳争议的焦点，就会给原被告双方合理分配各自举证的责任，如果举证不能就要承担败诉的风险。

而且案件争议焦点的明确也会限制法官的自由裁量权，法官在制作裁判文书的时候，也要论证说理，释法说理，使得每个群众在案件中感受到公平争议，做到各方都息诉罢访，服膺于司法的权威。

四、归纳 争议焦点的价值与作用

（一）促进诉讼的公正与效率

在诉讼中公正有时是和效率想背离，而归纳案件的争议焦点就会解决公正与效率之二律背反的问题。在波斯纳看来，公正的第二张含义就是效率。当事人平等的参与程序，特别通过证据开示制度，对案件事实、证据等争议事项的归纳，整理出争议焦点，可以让原被告双方有针对性的举证、质证，避免庭审陷于混乱无序，案件能快速审理，使得当事人免遭诉累。

争议焦点整理完毕后，当事人在大量的案件事实与证据面前定会考量诉讼成本以及对案件进行预判，当事人就会选择有利于自身的纠纷解决方法就会选择和解、调解或者撤诉，在促进诉讼公正的同时，提供了诉讼效率。

（二）合理分配原被告之间的举证责任

我们常说，打官司就是打证据，可举证责任确实诉讼的脊梁，正所谓举证之所在，败诉之所在也。

庭审中归纳完争议焦点之后，无形中就会合理的分配自己的举证责任原被告双方根据谁主张谁举证的原则，就要承担各自的举证责任，对于己方的诉请就要提供证据证明，如果举证不能就要承担败诉的后果。

当事人在法庭归纳争议焦点的背景下，可以充分的参与庭审，参与诉讼程序当中，明白诉讼的游戏规则，即使败诉，也能通过程序的参与性，吸收当事人不满，毕竟，对于这场诉讼，自己努力过，争取过，无论输赢，对于双方来说都坦然接受案件结果，做到心服口服。

（三）规范法官的自由裁量权

民事诉讼领域毕竟是属于司法领域，司法应当尊重当事人的处分权，但是，我国还是有较强的职权主义传统，法官拥有很大的权力，如何在个案中限制恣意的裁量权，案件争议焦点的归纳，就能很好的限制法官的裁量权。有些负责任的法官在被告发表完答辩意见之后，就会归纳案件的争议焦点，有时还会询问双方对归纳的争议焦点意见。

庭审法官归纳争议焦点3

1 什么是争议焦点？

纠纷起，两造生，两造相争，各执一端，僵持不下，难以定论，遂诉诸法院。法官查证事实，辨法析理，一断于法，作出裁判。争议焦点即产生于此过程之中，乃两造必争之核心问题。

我国《民事诉讼法》第133条规定：“人民法院对受理的案件，分别情形，予以处理： ……（四）需要开庭审理的，通过要求当事人交换证据等方式，明确争议焦点。”《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第39条规定：“证据交换应当在审判人员的主持下进行。在证据交换的过程中，审判人员对当事人无异议的事实、证据应当记录在卷；

对有异议的证据，按照需要证明的事实分类记录在卷，并记载异议的理由。通过证据交换，确定双方当事人争议的主要问题。” 《最高人民法院关于适用<中华人民共和国民事诉讼法>的解释》第226条规定：“人民法院应当根据当事人的诉讼请求、答辩意见以及证据交换的情况，归纳争议焦点，并就归纳的争议焦点征求当事人的意见。”

依上述规定，争议焦点是当事人之间产生纠纷之后需要解决的主要问题，其首先是一个问题，具体而言，包括引起争议的事实、证据、法律规定、责任等方面的主要问题。既然是问题，即可以用“是否”“如何”等语言进行表述，例如“合同是否生效”“是否构成侵权”“如何确定责任”等，这也是司法实践中的裁判文书中常见的表达方式。

其次，争议焦点是“主要问题”，其主要性体现在影响案件的处理结果，与案件处理结果无关的争议问题不在争议焦点之列。

2如何确定案件的争议焦点？

依上述规定，“人民法院应当根据当事人的诉讼请求、答辩意见以及证据交换的情况，归纳争议焦点”。一般而言，法官结合原告的诉讼请求、被告的答辩意见及证据交换情况，即可确定案件的争议焦点。因此，对比原告诉讼请求与被告答辩意见，结合证据交换或庭审答辩情况，为归纳争议焦点的一般方法。

但在司法实践中，争议焦点往往并不局限于原被告双方的诉请或答辩，一则由于原被告双方往往基于一方利益有意或无意模糊争议焦点，二则由于争议焦点所提出的问题往往需要依据法律原则或规则予以解决，需要法官根据法律规定和审判经验，结合个案具体情形进行综合归纳。

实践中，对于争议焦点的归纳见仁见智，但个人认为，在归纳争议焦点时应当注意对问题的拆解，且最好是拆解到可以与解决该问题的法律依据或理由进行对应。总体上，在对争议焦点进行类型化处理之后，可能更有利于审判实践中对争议焦点的理解和归纳。

3 如何在（民事）裁判文书中写明争议焦点？

根据《人民法院民事裁判文书制作规范》和《民事诉讼文书样式》的相关规定，召开庭前会议时或者在庭审时归纳争议焦点的，应当写明争议焦点。争议焦点的摆放位置，可以根据争议的内容处理。争议焦点中有证据和事实内容的，可以在当事人诉辩意见之后在当事人争议的证据和事实中写明。

争议焦点主要是法律适用问题的，可以在本院认为部分，先写明争议焦点，再进行说理。理由部分，有争议焦点的，先列争议焦点，再分别分析认定，后综合分析认定。没有列争议焦点的，直接写明裁判理由。

依上述规定，争议焦点并非裁判文书的必备项，也即并非所有的案件都有归纳争议焦点的必要。但有必要归纳争议焦点的，关于证据和事实的争议焦点与法律适用的争议焦点可以在证据和事实部分与本院认为部分分别写明。

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