设内切球半径为r，外切球半径为R，正四面体底面积为S，体积为V'，高为H 则V'=SH/3，连接内切球球心与四顶点，则正四面体被分为4个相同的小四面体，底面积为S，高为r 则有V'=4Sr/4，则有r=H/4 而根据几何关系，H=r+R，则R=3H/4 则r/R=1/3，则体积比为1/27，即外切球体积为27V
首先，内切球和外接球球心重合，都在体高(体高共四条)上。
其次内切球的半径为球心到各面的距离，外接球的半径为球心到顶点的距离。
而体高是从顶点向对应的面所作的垂线，可设球心为O，一个顶点为A, 垂足为H, 则OA为外接球半径，OH为内切球半径。
设正四面体的高为h,每个面的面积是S
那么,h=R+r
另外正四面体的体积
V=Sh/3
V=(Sr/3)4,[4个小三棱锥体积和]
从而h=4r,
R=3r
r:R=1:3
知道了半径之比体积之比就出来了。所以外接球的体积是9V
希望对你有帮助 (^__^)
正四面体内切球的体积等于3分子4乘以π再乘以正四面体棱长的一半的立方
因为球的体积公式是4/3πR＾3（R是半径）,正四面体的棱长正好是球的直径
外接球的直径等于正四面体的对角线,根据勾股定理可算出来如果设这个正四面体的棱长为a,那么对角线的长等于a乘以根号3,再除以2就是半径,代入上面的公式即可
圆台外接球的表面积公式：R=(h^2+r^2)/2h。
多边形内切球球心是多边形一切二面角平分面的交点。
多边形外接球球心O的位置可用下述方法之一定出来：点O是通过多面体非平行平面外接圆的圆心并垂直于非平行平面的两条直线的交点；点O是通过多面体非平行棱中点、并垂直于这些棱的三个平面的交点。
圆台外接球的表面积相关结论：
长方体一定有外接球，外接球的球心即其体对角线的交点，半径为体对角线的一半。
正方体既有内切球，也有外接球，球心都是体对角线的交点，内切球的半径为棱长的一半，外接球的半径为体对角线的一半。
长方体外接球的直径=长方体的体对角线长。
正方体外接球的直径=正方体的体对角线长。
圆柱体外接球的直径=圆柱体的体对角线长。
设正四面体P-ABC，作高PH，交底面ABC于H，则H是正三角形ABC的外心，（重心），
连结AH，交BC于D，
AB=BC=AC= a,
AD=√3a/2,
根据重心的性质，AH=2AD/3=√3a/3,
根据勾股定理，
PH^2=AP^2-AH^2,
PH=√6a/3,
在平面PAH上，作PA的垂直平分线OM，交PH于O点，M是AP上中点，则O点就是外接球和内切球的球心，
△PMO∽△PHA，
PMPA=POPH，
(a/2)a=PO√6a/3,
PO=√6a/4,
∴外接球半径R=√6a/4。
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