椭圆垂径定理

椭圆的“垂径定理：已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A、B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积：

已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．对于椭圆也有类似的性质。圆可以看作椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看作圆。

注一 当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；

注二    这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；

注三    双曲线x2a2−y2b2=1的垂径定理中的斜率之积：

圆的垂径定理证明过程如下：

设在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。

证明：

连接OC、OD。

则OC=OD（⊙O的半径）。

∵ AB⊥CD，

∴CE=DE，∠COE=∠DOE（等腰三角形三线合一）。

∴弧BC=弧BD（等角对等弧），∠AOE=∠AOD（等角的补角相等）。

∴弧AC=弧AD。

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)

但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

在5个条件中:

1平分弦所对的一条弧

2平分弦所对的另一条弧

3平分弦

4垂直于弦

5经过圆心(或者说直径)

只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论

请采纳。

垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三

1，平分弦所对的优弧

2，平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）

3，平分弦（不是直径）

4，垂直于弦

5，过圆心

扩展资料：

推导定理

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

几何语言：∵DC是直径，AE=EB

∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO

推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。

几何语言：∵DC垂直AB，AE=EB

∴DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

参考资料:百度百科---垂径定理

垂径定理的内容指的是垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，同时也是数学平面几何（圆）中的一个定理，且该定理也是圆的重要性质之一。垂径定理是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD交于E，

求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD

证明：连接OA、OB

∵OA、OB是⊙O的半径

∴OA=OB

∴△OAB是等腰三角形

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）

∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC

∴弧AC=弧BC

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

注：

（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；

（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。

垂径定理的推论：

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)

但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论

1平分弦所对的优弧

2平分弦所对的劣弧

（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）

3平分弦

(不是直径)

4垂直于弦

5经过圆心

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