碳钢瞬时线性热膨胀系数计算模型的建立 当材料的温度由Tref(基准的参考温度)变化到T时，材料长度L的相对变化为： (1) 根据密度ρ与L3成反比，可推导出εth与ρ间存在以下关系： (2) 则瞬时线性热膨胀系数定义为： (3) 由此可见，欲求出瞬时线性热膨胀系数，关键在于确定碳钢在不同温度下的密度值。 以〔C〕≤08 %的碳钢为研究对象，根据其冷却时凝固组织的特点(见图1)，按照碳含量分为以下4组： Ⅰ〔C〕＜009 %: L→L+δ→δ→δ+γ→γ→α+γ→α+Fe3C Ⅱ〔C〕=009 %～016 %: L→L+δ→δ+γ→γ→α+γ→α+Fe3C Ⅲ〔C〕=016 %～051 %: L→L+δ→L+γ→γ→α+γ→α+Fe3C Ⅳ〔C〕=051 %～080 %: L→L+γ→γ→α+γ→α+Fe3C 碳钢凝固组织为多相混合体系，其密度按照式(4)和式(5)确定，即： (4) f1+f2+…+fi=1 (5) 其中，fi为体系中组分i的质量分数，可利用相图，根据杠杆规则由程序计算确定。组分i(i为L、δ、γ、α或Fe3C)的密度为温度和碳含量的函数：ρ〔T,(i)〕=ρi(T,C)，其值取自文献〔6〕。 计算线性热膨胀系数时，选固相线温度为基准参考温度。热膨胀系数由固相线处的数值线性地降低到零强度温度(即固相分率fs=08对应的温度)处的零值，在零强度温度以上范围，热膨胀系数保持为零。这样，就可以避免液相区产生热应力。 图1 铁碳相图 Fig1 Fe-C phase diagram 12 铸坯热—弹—塑性应力模型简介 利用有限元法，先计算铸坯温度场，然后将计算结果以热载荷的形式引入应力场。 121 铸坯温度场的计算 忽略拉坯方向传热，并根据对称性，取铸坯1/4断面薄片，其四边形4节点等参单元网格如图2所示。非稳态二维传热控制方程为： 图2 计算域及铸坯单元网格示意图 Fig2 Simulation domain and FEM meshused for analysis (6) 初始温度为浇铸温度，铸坯表面散热热流采用现场实测值：q=2 688-420 t1/2 kW/m2，中心对称线处为绝热边界。模型中采用的热物理性能参数均随温度而变化，并且利用等效比热容c来考虑潜热的影响。另外，液相区对流效果通过适当放大液相区导热系数来实现。 122 铸坯应力场的计算 为利用温度场计算结果，采用与温度场一致的铸坯网格划分方法。体系中结晶器铜板为刚性接触边界，通过控制其运动轨迹(包括运动方向和速度)来表征结晶器锥度。若铸坯表面某个节点与铜板间距离小于规定的接触判据，则认为在此处发生接触，对该节点施加接触约束(避免节点穿越铜板表面)，否则按自由边界处理。 计算时将液、固区域作为一个整体，对高于液相线温度的材料的力学参数作特殊处理，使液相区应力状态保持均匀的静压力状态，且施加在外部的钢水静压力可基本保持原值地传递到固态坯壳内侧。根据对称性，应在中心对称线上施加垂直方向的固定位移约束，但由于只关心坯壳的位移场，且坯壳厚度一般不会超过15 mm，所以只在距表面15 mm的范围内施加约束。超出15 mm的范围基本上为液相区，在其外边缘(对称线处)施加钢水静压力(压力值正比于离弯月面的距离)。 上述体系的力平衡方程为： (7) 式中，〔K〕为系统的总刚矩阵；{δi}为节点位移列阵；{Rexter}为系统外力(钢水静压力和结晶器铜壁的接触反力)引起的等效节点载荷列阵；{Rε0}为热应变引起的等效节点载荷列阵。考虑包晶相变的影响，在计算{Rε0}时采用前面计算出的碳钢线性热膨胀系数曲线。 计算采用热—弹—塑性模型，假定铸坯断面处于广义平面应变状态，服从Mises屈服准则和等向强化规律，其硬化曲线为分段线性〔7〕。 2 计算结果及讨论 以碳含量为0045 %、0100 %和0200 %的3种碳钢作为计算对象，采用相同的计算条件，即：铸坯断面尺寸为：150 mm×150 mm， 拉 坯 速 度15 m/min，浇铸温度1 550 ℃，结晶器长700 mm、锥度08 %，弯月面距结晶器上口距离100 mm。 21 3种碳钢的瞬时热膨胀系数 图3为计算出的碳钢的瞬时线性热膨胀系数曲线。可以看出：当〔C〕=0045 %时，热膨胀系数在固相线温度以下区域突然变化。这是因为钢液凝固后发生初生的δ相→γ相的转变，并伴随有比容变化，使得热膨胀系数急剧上升；当〔C〕=0100 %时，热膨胀系数从两相区开始发生突变。这是因为钢液凝固时，液相和δ相发生包晶反应，转变成γ相，剩余的δ相继续向γ相转变。转变过程中的比容变化也引起热膨胀系数的急剧上升。 图3 碳钢的瞬时线性热膨胀系数曲线 3条曲线中，非零值起始点为零强度温度对应点； A、B、C为固相线温度对应点 Fig3 Instant linear thermal expansion coefficient of carbon steel 另外，〔C〕=0045 %的δ相→γ相转变温度区间较窄，转变较快(见图1)，因此线性热膨胀系数突变值较大。相比之下，〔C〕=0100 %的热膨胀系数突变值要小一些。虽然如此，但由于后者的相变温度区间较宽，其热膨胀系数突变的温度区间也较宽。由此可推断，〔C〕=0100 %时发生的包晶相变对初生坯壳凝固收缩的影响将大于〔C〕=0045 %时发生的δ相→γ相转变的影响。 〔C〕=0200 %钢的热膨胀系数没有发生突变。这是因为，虽然也有包晶相变发生，但它只发生在某个温度水平上(约1 495 ℃)，故对热膨胀系数的影响很小。 22 铸坯表面收缩量 图4示出〔C〕=0045 %、0100 %和0200 % 3种钢的铸坯表面收缩量沿拉坯方向和横断面方向的变化情况 ( 其中底部的空间斜平面为结晶器铜板 图4 铸坯表面收缩量 (a) 〔C〕=0045 %； (b) 〔C〕=0100 %； (c) 〔C〕=0200 % Fig4 Surface shrinkage of billet 内壁面)。从图中可以看出：铸坯角部在凝固的初期就收缩并脱离结晶器铜板，而靠近中间处几乎始终与铜板接触(只有〔C〕=0100 %的钢在靠近出口处才保持分离)。越靠近角部收缩脱离越早，收缩量也越大。 在钢水静压力作用下，收缩的坯壳会被压回结晶器铜板，从而使坯壳收缩发生波动〔收缩面曲面图呈犬牙状(见图4)〕。靠近弯月面区域坯壳较薄，波动现象较为明显。另外，越靠近角部波动也越明显。初生坯壳的这种收缩波动会导致应力集中，容易诱发裂纹等表面缺陷。 比较3种碳钢铸坯的表面收 缩 量 可 知：〔C〕=0100 %钢的收缩最显著，收缩波动最大(弯月面区域)，且波动沿横断面方向扩展最广；〔C〕=0200 %钢的收缩量最小。 23 弯月面区域角部初生坯壳收缩状况 图5示出3种碳钢的铸坯角部在靠近弯月面区域的收缩情况。可以看出：在离弯月面20 mm范围内，铸坯角部就脱离了结晶器铜板，其中〔C〕=0045 %钢脱离最早，这是因为该钢种的固相线温度最高，最早凝固形成坯壳；〔C〕=0100 %钢在形成初生坯壳后发生强烈收缩，但在离弯月面50 mm处被增大的钢水静压力压回，然后又继续收缩。该钢种初生坯壳收缩最显著，收缩波动也最大，因此最容易诱发铸坯表面缺陷；〔C〕=0045 %钢的初生坯壳收缩量和收缩波动程度明显地降低；〔C〕=0200 %钢的初生坯壳收缩量和收缩波动程度最小。 图5 弯月面区域初生坯壳角部收缩量 Fig5 Shrinkage of initial shell ofbillet corner at meniscus 3 结 论 (1)对于碳含量在01 %附近的包晶钢，其初生坯壳在结晶器上部和靠近角部区域的收缩很不规则，容易诱发铸坯表面缺陷。 (2)坯壳不规则收缩主要集中在弯月面下100 mm范围内。由此可知，结晶器上部的锥度并不适合坯壳收缩。因此，应通过优化结晶器锥度来提高拉坯速度。一个重要的指导原则是在结晶器上部采用较大锥度，以促使坯壳与铜板良好接触。
单位温度变化ΔT下，无穷细物体的线长变化率ΔL/L，线胀系数α=ΔL/LΔT，其实就是忽略物体横向的截面变化、仅考虑长度膨胀时的膨胀系数。
类似的有面胀系数β=ΔS/SΔT，是单位温度变化下无穷薄物体的面积变化率，忽略厚度变化
全面考虑就是体胀系数γ=ΔV/VΔT，是单位温度变化下物体体积的变化率
通常情况下，上述公式中的长度L、面积S、体积V以0℃时为基准
在一次近似条件下有：γ=3α，β=2α]
热 膨胀 是 固体材 料 中一 个 很 重要 的特 性 ． 固体 因受热 而 引起线 度 变 化 的现 象 称 为 线 膨胀 ， 于 不 对 同材料 的 固体 ， 膨胀 的程 度各 不相 同 ， 常 以线膨 线 通 胀系 数表 征不 同 物质 热膨 胀 的程度 ．
一 固体 的膨 胀 是十 分微 小 的 ， 固体 发 生很 小 的 热 膨胀但 却能产 生 很 大 的应 力 ，膨 胀 系 数 是 工 程 设因 线 计 、 密 仪器 制造 、 精 材料 焊 接 和加工 中必须 考虑 的重要参 数之 一 ． 学 习线 膨胀 系数 的测 定 是 十 分有 意 义 的 ． 在 式 中 ， 是 光杠 杆 后 足 垂 直距 离 ，前 加 热 后 与 加 热 前 在 望 远 镜 中读 得 标 尺 刻 度 差 ， 为尺 至光 杠杆 的距 离 ． D 为 了减小 人 为 误 差 ， 般 要 测 量 多个 末 温 t 的望 远镜 读数 咒 进行 计 算 ． 设 测量 了 i 假 组数 据 ， 由 1式 的定 义 ， 1式 有r 即 Lf 一1 — ： 。（l l 、 l。 —） l 由 2 式可 得
测定 固体线膨胀系数理论进行详细分析 的同时 ， 发 现实 验 中往 往 忽 略 了采 温 间 隔 对 线 膨 胀 系 数 的 影 响， 给实 验结 果带 来 了理论 误 差 ， 加 了固体线 膨 胀 增 系数 的非 线性 效 应 ． 文 以光 杠 杆 法 测 定 固体 的线 本 膨胀 系 数为 例 ， 这 一理 论误 差 的影 响 ．
1 线膨 胀 系数 的定 义4 一 5对5 式两边分别求和， 且认为
a ＝a 得到 ， I l L ～2 D 一 u ＼ 。
￡ ＋ ： 。 （1 z） 。 — U L 〔z ／U。
5（2一t） 1 t 1￡ ＋… ＋（ —t 1￡一〕 t ） 1 一
即 实验证 明 ， 固体 的线 膨 胀 与 温度 的增 加 固体 的原长 和该 固体 的种 类有 关 ． 当温度 改变 不 大时 ， 固 体单 位 长度 的改 变量 近似 地 和温 度改 变量 d 成 z 正 比，
即d L （ 一尺 ） 2L（ —t ＋∑ （ —t1 （ 一 o Do t ） t i） R －R） （） 即 为 由定 义 7 推导 出来 的 i 测量 数7式 1式 组 r ：口 … d z 、， 据计 算线 膨 胀系 数 的理论 公式 ． 一 1 7 式 中 a称 为线 膨胀 系数 ，
￡ 是该 固体 在温 度 t时 的长度 ．
2 线膨胀 系数测 量原 理 的分析
3 固体 线膨 胀 系数 测量 原 理的 理论 误差 分析
1 式定 义 表 明 ， 非 规定 了温 度 的变化 过 程 ， 否则 ， 固体 线膨 胀系 数 a的数 值 是不完 全确 定 的 ． 但科 学研 究 中 ， 以测 量 a随 温 度 的变 化 值 ， 可 在教 学 中 ， 由于实 验条 件 的限制 ， 只能测 量一 定 温度 范 围内的 等 效 平 均 值 ． 此 规 定 温 度 均 匀 变 化 ， 在许多技术应用 中， 常用简化 的等效平均值来代替 实 际的非 线性 值 ， 一般 认 为 2 q 即 OC至 I0C的 固 O￣ 体 线膨 胀 系数 近似 为 常量 ， 人们 往往 忽 略了采 温 间隔 对 固体 线 膨胀 系数 a的非 线 性 的影 响 ， 多 组测 量数 据计 算线 膨 胀 系数 的公式 就 为 △ 代替 d ， △ 代替 d ， 用 ￡ ￡用 z z根据线膨胀 系数的 定义 ， 只要用实验方法测得 固体的 ￡ 、 ￡ A 等量 ， 0△ ， t 便可求出 a 若以光杠杆法测量 △ ， ．
￡ 有 A ： L 2 K（ ￡ R 一R ） o 8
开始 时 左侧 导 体棒 静 止 ， 右侧 导 体棒 具 有 向右Bq L ： 删 一0 ： 1 m — 一 7：f ．
g7 ＝ l ＝ ￡l ＝ △
由上jE ￣1 －l r 何q 性． 当然 ， 固体线膨 胀 系 数 的非 线 性 效 应 （ 即温 度梯度 ）的大 小 以及 理 论 误 差 的大 小 ， 全取 决 于 温 度 采样 △￡ 的大小 ． ， 取 J 0＝5 ．0c 温度 范 围在 2℃ 0O m， 0 右运 时产感 电势两解 当棒 动 ， 生 棒 中都 有感 应 电流 通过 ， 右棒 受到安 培力 作用 而减速 ，
8式 7式 相 比较 ，缺 少 一 项 ， 此定 义 8式 7式 分 在 为
∑ （ 一 ）（ 一 o t t KR R）
I（9 ） 到 10C时 ， 0￣ a＝20 ．0×1 o At 间隔 ， 0 C～， 等 分别等于 1 2 o 5C、0C、0C、0C．
计 算 得 C\1 ￣ 2 ￣ 3 ￣ 用 7 式 o C、 o 即 8 式引 入 了 一 个 理 论 误 差 ．
比较 可 知 ， 到 的固体线 膨胀 系数 越大 ， △￡ 用 7 式计算 得 到的 固体 线 膨胀 系数 的非线 性 效 应 就越 大 但 8 式得 到的 固体 线 膨胀 系数 比7得 到 的 固体线膨胀 系数 大 ， 采温 相 隔 间隔越 越 大 ，且 8 式得 到 的固体线膨 胀系 数误 差就越 大 ．
这种非 线性 并不 明显 ， 实验 中其 他 系统 误 差均 大于这个理 论误 差 ， 人们 为 了简便 计算 ， 常常 用简化 的等 效平均值代替客观真值 ， 其结果不失科学性．
结论 针 对 现 行 大 学 物理 教 材 中 固体 线 膨 胀 系数 的定 义 ， 以光杠杆 法测定 固体线膨 胀系数 为例 ， 对测 量原理 进行 了详 细 地 分析 ， 到 了多 组 测量 数 据 得 计 算线 膨胀 系数 的理 论 公式 7 同 时提 出实 验 中 ，人们 往往 忽 略采温 间 隔 △￡ 的大 小 ， 常利 用 8式 计算 ， 给实 验结果 带 来 一 定 的理 论 误 差 ． 分 析 发现 △￡ 大 ， 计算 得 到 的固体 线膨胀 系 数越 用 7式,不 同 △￡ 条件下用 （7式计算得到的固体线膨胀系数 的非 线性效 应就 越大 ．
因此 ， 在实 验 过 程 中 该尽 量使 △￡ 小 ． 在假设 固体 线膨胀 系数 为常 量 的前 提下 ,用 7式 计算 得到 的 固体 线膨 胀系数 就具 有一 定 的非 线
铜的线膨胀系数:17X10"("表示负5次方)度负1次方
线膨胀系数αt 面膨胀系数αs 体膨胀系数αl
αs＝2αt=3αl(=是约等于)
附:康铜152X10的负5次方
青铜175X10的负5次方
黄铜19X10的负5次方
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