两矩阵等价和两向量组等价的区别和联系是什么

区别：

一、定义

两矩阵等价：如果B可由A经过一系列初等变化得到，那么A,B等价。

A,B等价<=>存在s级矩阵P和n级矩阵Q使得A=PBQ

两向量组等价：是两个向量组可以互相线性表出。假设两个向量组分别为a1,a2,,ar和b1,b2,,bs，那么a1,a2,,ar可由b1,b2,,bs线性表出的意思是每一个ai(i=1,2,…,s)都可以由b1,b2,,bs的某一个线性组合表示出来。

二、两个向量组等价，它们组成的矩阵不一定等价。

解释：两个等价的向量组所含向量个数可以不同，比如上面的定义中，一组向量有r个，而另一组有s个。但对于两个等价的矩阵，两矩阵必定是相同规格的。所以两等价向量组组成的矩阵不一定等价。

三、两个矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价。

例：矩阵A=[第一行10 第二行0 0],B=[第一行0 0 第二行0 1] ,则容易看出A经一次初等行变换和一次初等列变化就可以化为B，即A,B等价，但A的列向量组与B的列向量组显然不能互相线性表出，同样他们的行向量组也不等价。故两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价。

联系：

一、如果一个矩阵只经过初等行（或列）向量变成另一个矩阵，那么对应向量组等价。

证明：若s×n级矩阵A,B等价<=>存在s级矩阵P和n级矩阵Q使得A=PBQ这里将两个s×n级的矩阵都看作由n个s维的列向量，即A=(a1,a2,,an),B=(b1,b2,,bn),其中ai和bi都为s维向量(i=1,2,n)则A=(a1,a2,,an)=P(b1,b2,,bn)Q

若P=E，则A=(a1,a2,,an)=(b1,b2,,bn)Q，即矩阵B只经过初等列变换得到A，同时右乘Q^-1得到(a1,a2,,an)Q^-1=(b1,b2,,bn)，容易得到a1,a2,,an和b1,b2,,bn两个向量组等价。

若Q=E，则A=(a1,a2,,an)=P(b1,b2,,bn)，即矩阵B只经过初等行变换得到A，同时左乘P^-1得到P^-1(a1,a2,,an)=(b1,b2,,bn)，容易得到a1,a2,,an和b1,b2,,bn两个向量组等价。

二、两个向量组等价且向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价。

证明：如果向量组a1,a2,,an与b1,b2,,bn等价，则它们有相同的秩，那么由a1,a2,,an与b1,b2,,bn分别组成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，可以得到矩阵A与B等价。

秩相等的两个向量组不一定等价

等价的向量组包含的向量个数是可相同也可不同。

说明：

1、两个向量组要等价不仅要求向量组a和b的秩相等，而且要求和a和b组合成的新向量租的秩也要相等。即向量组a与向量组b等价<=>r(a)=r(b)=r(a,b)

楼上举的就是r(a)=r(b)=1≠r(a,b)=2，因此两者不等价。

2、第二个就更简单了，向量组等价，个数肯定可以不同。设向量组a，只要在a中添加任何由a中向量线性表出的向量得到向量组b仍和a等价，但b中向量个数较a多。

矩阵等价和向量组等价是不同的不同之处在于：

首先,不是每个向量都可以表示成有限维行向量或者列向量,所以,不是每个向量组都和有限阶矩阵相联系

其次,即使可以表示成矩阵的向量组,也是有区别的,例如：（1,0）（2,0）这个向量组和向量组（0,1）,（0,2）当然是不等价的,因为他们无法互相线性表示可是作为矩阵,这两个矩阵是等价的,因为秩相等

两向量组等价，一个向量组线性无关，推不出另一个向量组的性质。

因为如果向量组1线性无关，向量组2的向量个数和向量组1的个数相同，那向量组2线性无关；如果向量组2比向量组1的向量个数多，向量组2线性相关。

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示；需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

扩展资料：

两向量组等价的性质：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

参考资料来源：百度百科——等价向量组

一般是先定义矩阵的等价。两个矩阵等价是指，一个矩阵经过初等变换能够变成另外一个矩阵（还可以细分为行等价（只用初等行变换）和列等价（只用初等列变换））。

因为向量组可以组成矩阵，反过来矩阵又存在行向量组和列向量组，所以可以利用矩阵的等价来定义向量组的等价（只要把两个向量组都做成矩阵即可）。一般定义向量组的等价，是用另外一个说法，就是“相互线性表示”。

向量组a：a1，a2，，am与向量组b：b1，b2，，bk等价：

向量组a中的每一个向量都可以由向量组b线性表示；向量组b中的每一个向量也可由向量组a线性表示。

一般不讨论两个向量的等价，如果按照定义来理解的话，就是两个向量的元素对应成比例。

等价的向量组秩不一定相等。A组与B组等价的充要条件是 R(A)=R(A，B)=R(B)。

如果向量组的秩都等于整个线性空间的秩，则都组成线性空间的基，必互相等价。否则（如果秩小于整个线性空间的秩）未必成立：例如{(1，0)}和{(0，1)}都是二维欧式空间R^2中的向量组，秩都是1，但(1，0)不能写成(0，,1)的倍数，(0，1)也不能写成(1，0)的倍数，所以不一定相等。

等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

扩展资料：

等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

任一向量组和它的极大无关组等价。向量组的任意两个极大无关组等价。两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。

矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

参考资料来源：百度百科——等价向量组

向量组等价,是向量组可以相互线性表示与两个向量组的最大无关组可以相互线性表示是充要条件显然,两个向量组的秩相同,是两个向量组的最大无关组可以相互线性表示的必要不充分条件而两个矩阵等价,只能推出这两个向量组的秩相同,是两个向量组最大无关组可以相互线性表示的必要条件

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