先说说什么是第三次数学危机，
罗素提出这样一个问题：一个村里有一位理发师，他承诺愿为全村所有不愿给自己刮胡子的人刮胡子，那么按他的承诺他愿不愿为自己刮胡子呢？
假定他愿刮，那么按承诺他不能给自己刮；反过来，他不愿刮的话，就必须履行承诺给自己刮。这就是罗素悖论，由此引发第三次数学危机。
经过几代数学家的分析，运用各种逻辑推理手段，最终全球数学家达成共识，这个问题永远不可能被解决，于是第三次数学危机得以化解。
关于第四次数学危机，完全有可能发生。至于具体情况则很难预测，因为数学的理论性越来越强，其漏洞很难从实际中发现。
从前三次危机看，直接原因都是新悖论的出现。因此，第四次危机可能还是会由悖论引发。
简单来说： 第一次数学危机：无理数的发现。 第二次数学危机：十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论。 第三次数学危机：康托的一般集合理论的边缘发现悖论。 补充： 专业术语 表达： 第一次数学危机：不可通约性的发现。 第二次数学危机 ： 无穷小量 是否存在。 第三次数学危机 ： 罗素悖论 。
论数学史上的三次数学危机 学号：100521026 姓名：付东群 摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。历史上一连串的数学 悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数 学悖论的产生和危机的出现， 不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的 发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。危机的产生、解决，又产生的无 穷反复过程， 不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过 程。 关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论； 引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。数学的发展决不是一 帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。 数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。无理数的发现，微积分和非欧 集合的创立， 乃至费马定理的证明这样的例子在数学史上不胜枚举，他们 可以帮助人们了解数学创造的完美过程。 对这种创造的过程的了解则可以使我们 从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。 第一次数学危机（无理数的产生） 第一次危机发生在公元前 580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立 了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知 识保密，所有发明创造都归于学派领袖。 (一)、危机的起源 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数” ，这个数就是整数，他们确定数学的目的是 企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理， 并且认为宇宙间的一切现象都能归结 为整数或整数之比。后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理） ，他们 认为这是一件很了不起的事， 然而了不起的事后面还有更了不起的事。毕达哥拉 斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发， 发现边长为 1 的正方形对角线不能用 整数来表示， 这就产生了这个无理数。 这无疑对 “万物皆数” 产生了巨大的冲击， 由此引发了第一次数学危机1 。 （二） 、危机的解决 由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。 动摇 数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决。大约到了公元前 370 年，这个矛 盾终于被毕达哥拉斯学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法巧妙的处理了。 但这个问题直到 19 世纪的戴德金和康托尔等人建立了现代实数理论才算彻底解 决了。 （三） 、对数学发展的意义 第一次危机的产生最大的意义是导致了无理数地产生， 打破了长时间的禁锢数学 发展的枷锁。 这次数学危机也使整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高 了，在以后的一两千年中，几何支撑了数学的发展。同时危机也表明，直觉和经 验不一定靠得住，推理证明才是最可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由 此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命 第二次数学危机（微积分工具） 18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分 数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创 立的微积分理论都是不严格的。 （一） 、危机的起源 因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的， 但他们对作为 基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。1734 年，英国哲学家、大主教贝 克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》 ，矛头指向微积分的基 础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。笼统的说，贝克莱悖论可以表述 为“无穷小量究竟是否为 0”的问题。这一问题的提出在当时的数学界引起了一 定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生2 。 （二） 、危机的解决 为了解决第二次数学危机， 数学家们开始在严格化基础上重建微积分，其中贡 献最大的是法国数学家柯西，他在《分析教程》和《无穷小计算讲义》中给出了 数学分析一系列基本概念的精确定义。例如：他给出了精确的极限定义，然后用 极限定义连续性、导数、微分，定积分和无穷级数的收敛性。后来，魏尔斯特拉 斯及其追随者们实现了分析的算术化。至此，数学史上的第二次危机已经克服， 数学的整个结构已被恢复3 。 （三） 、对数学发展的意义 牛顿和莱布尼茨创立的微积分理论虽然存在一定的缺陷， 但微积分仍然很受重 视，被广泛地应用于物理学、力学、天文学中。危机爆发后，经过柯西等人的不 懈努力，严格的极限理论建立起来了，为微积分奠定了理论基础。微积分理论的 建立在数学史上有深远的意义。 一方面它消除了微积分长期以来的神秘性，使数 学以及其他科学冲破了宗教的束缚，为以后的独立发展创造了条件；另一方面， 微积分理论基础的建立加速了微积分的发展，产生了复变函数、实变函数、微分 方程、变分学、积分方程、泛函分析等学科，形成了庞大的分析体系，成为数学 的重要分支4 。 第三次数学危机（罗素悖论） 到 19 世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用 到其他的数学分支。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达 到了无懈可击的地步。但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆 发了一次危机。 （一） 、危机的起源 康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在 1900 年巴 黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称： “数学的严格性，看来直到今天 才可以说实现了。 ”但事隔两年后，却传出一个惊人的消息：集合论的概念本身 出现了矛盾。 这就是英国数学家罗素提出的著名的悖论，罗素悖论的内容用一句 话表述就是：所有不以自己为元素的集合组成一个集合，记为 A；则有集合 A 包 含 A 等价于集何 A 不包含 A 这样的悖理5 罗素悖论一提出就在当时的数学界和 。 逻辑学界引起了极大的震动。 这一悖论引起的巨大反响则导致了数学史上的第三 次危机。 （二） 、危机的解决 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。其中以罗素为主要代表的逻 辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分 支理论， 这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策 梅罗提出的集合论的公理化， 策梅罗认为， 适当的公理体系可以限制集合的概念， 从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、 冯·诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC 系统）6，ZFC 系统的建立， 使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖 论，第三次数学危机表面上解决了。 （三）、对数学发展的意义 集合论公理系统的建立， 成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解 决了第三次数学危机。 但在另一方面， 罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响， 它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前， 导致了数学 家对数学基础的研究。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展， 证明论、 模型论和递归论相继诞生， 出现了数学基础理论、 类型论和多值逻辑等。 可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性， 而且也直 接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。 四、悖论与数学发展 历史上的三次数学危机，给数学界带来了极大的麻烦，危机的产生使数学家 认识到了现有理论的缺陷， 科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个 新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展动力之一。希帕索斯悖论、 贝克莱悖论以及罗素悖论分别引发了数学发展史上的三次危机。然而，这三次危 机又不同程度的促进了数学的发展。第一次数学危机使人们发现无理数，建立了 完整的实数理论， 欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机 促成了分析基础理论的完善与集合论的创立； 第三次数学危机促成了数理逻辑的 发展与一批现代数学的产生，使集合论成为一个完整的集合论公理体系。 总结：数学史上的三次危机，虽给数学的发展带来了空前的困难，但是给数学 以极大的推动。 这三次危机的解决都丰富了数学理论， 推动了数学的严密化发展。 经历了历史上三次数学危机的数学界，是否从此就与数学危机“绝缘”呢？不！ 因为人类的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性， 在人类的认识的各个历史 阶段所形成的各个理论系统中， 本来就具有悖论产生的可能性，但在人类认识世 界的深化过程中同样具有排除悖论的可能性，数学大厦的基础任然存在着裂缝， 并不如想象中的那样完美与和谐。因此，我们要正确的看待数学史所产生的危机 和他对数学等学科发展所起的巨大作用。 参考文献： 1王保红数学三次危机的认识论意义[J]山西教育学院学报，2001，第 4 期：106-107 2董海瑞漫谈数学史上的三次危机[J]太原大学教育学院学报，2007 年 6 月，83（25） 3陈云波数学发展史上的三次危机[J]教学与管理，2004 5王桂芹数学在克服危机中前进[J]天中学刊，2000,15（5） ：65-67 4赵院娥乔淑莉悖论及其对数学发展的影响[J]。延安大学学报 2004,2（1） ：21-25 6聂铭三次数学危机的产生与解决[J]六盘水师专学报，2011,13（4）
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
我觉得第四次可能是在中国，因为在曾经就有一位中国的数学爱好者李明波就宣称发现过第四次数学危机但是却被人认为是哗众取宠。
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