空间直线的法向量如何求

由题得两个平面的法向向量：

S1（1，1，-1）， S2（2，-1，1）

两个平面相交的直线是垂直于此两个法向量的， 故相交直线的方向向量：

S=S1xS2=（1，1，-1）x （2，-1，1）=(-2,-3,-3)

进而可求得相交直线的方程， 即令两个平面方程的z=1, 可求得相交的一点为（1，1，1），

故直线方程为(x-1)/-2=(y-1)/-3=(z-1)/-3

扩展资料：

公理

相关公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

相关定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。

推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。

异面直线,是两条直线不同在任何一个平面内,没有公共点。

法向量

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。从理论上述，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。

如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到xx1+yy1+zz1=0和xx2+yy2+zz2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角，这个角和斜线与平面所成的角互余。利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离

法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，他的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。

直线写成一般方程，各个未知数的系数，就是法向量。

所有直线的法向量，可以用与直线的方向向量（与直线平行，可以有两个相反的方向）

ax+by+c=0，法向量（a,b)

推导如下：

设上述直线过（x0，y0）点，

则，直线的方向向量可以表示为（x-x0，y-y0）

ax0+by0+c=0

两式相减，反用向量点积的定义：

a(x-x0)+b(y-y0)=0

(a,b)(x-x0,y-y0)=0

这个规律对于空间平面同样成立。

平面：ax+by+cz+d=0

（a，b，c）是一个法向量。

法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息一般不选择零向量为平面的法向量

如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到xx1+yy1+zz1=0和xx2+yy2+zz2=0由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量)利用这个原理也可以求异面直线的距离

法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候

（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即

例题

(2003全国（理）18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,

（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点到平面的距离

（Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,

设,则, , ,

, , ,

∴ , ,

∴ , ,

由 得, ,

∴ , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得,

,令 得, ,

∴平面 的一个法向量为 ,

∴ 与的夹角的余弦值是 ,

∴ 与平面所成角为

当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行

（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行

例题

（2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 ,

（I）证明： ；

（II）求以为棱, 与为面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使证明你的结论

（Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为, ,

∴ , ,

设平面的法向量为,则由题意可知, ,

由 得,

∴ 令得, ,

∴平面的一个法向量为

设点是棱上的点,则

,

由 得,

∴ , ∴当是棱的中点时,

同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直

（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ；当二面角为钝角时,

例题

2004年高考湖南（理）19题：

（Ⅱ）由题意可知, , ,

∵ ∴ 为平面的一个法向量,

设平面的法向量为 ,则由题意可知, ,

由 得,

∴ 令 得, ,

∴平面的一个法向量为,

∴向量与夹角的余弦值是 , ∴ ,

由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角,

∴所求二面角的大小为

我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直

（四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直

例题

（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证：平面平面

证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,

则 , , , ,

∴ , ,

设平面的法向量为 ,则由题意可知,

由 得,

∴ 令得, ,

∴平面的一个法向量为 ,

由题意可知,平面的一个法向量为

∴ ∴平面平面

（五）设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即

我们再来看2003年全国（理）18题：

（Ⅱ）设 ,则 , , , ,

∴ , ,

设平面 的法向量为 ,则 , ,

由 , 得,

,令 得, ,

∴平面的一个法向量为 ,而 ,

∴点 到平面的距离

我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离

（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即

例题

（1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离

以为坐标原点,建立如图所示的坐标系 ,

连结交于 ,连结 ,则就是

面 与底面所成的角的平面角,

∴= ,∴

又∵截面 ,为的中点,

∴ 为的中点,∴ ,

则 , , ,

∴ , ,

设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得,

∴ ,∴ ,

∴异面直线与之间的距离

前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法向量较为有效

是垂直关系。

可以在已知直线上找到一个已知点，比如（1，1）

然后再设法线上的点为（X,Y)

(y-1)/(x-1) 就是法线的斜率，可设为k，k和已知直线的斜率的乘积为-1

因此可以解方程求出法线

求方向向量时，只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。

（1）即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为

=(-b,a)或(b,-a)；

（2）若直线l的斜率为k,则l的一个方向向量为

=(1,k)；

（3）若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB所在直线的一个方向向量为

=(x2-x1,y2-y1)。

求法向量时，对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为

如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足 F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为

扩展资料：

变换矩阵可以用来变换多边形，也可以变换多边形表面的切向量。 设n′为W n。我们必须发现W。Wn垂直于Mt

很明白的选定Wst

或

将可以满足上列的方程式，按需求，再以Wn垂直于Mt或一个n′垂直于t′。

你说的是在平面的条件下吧 三维以上的话法向量就不唯一了

设直线方程为 ax+by+c=0

则法向量为（a,b)

证明：

设点（x1,y1)(x2,y2)在直线上

则 ax1+by1+c=0

ax2+by2+c=0

两式相减得

a(x1-x2)+b(y1-y2)=0因此（a,b)为法向量

答案：设直线方程为 ax+by+c=0

则法向量为（a,b)

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