高中数学函数部分对勾函数求最值不太理解求解惑

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0,b>0）的函数。由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。因函数图像相似耐克商标，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

对勾函数

图像

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线

。在第一区间时，其转折点为

最值

当x>0时，

有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当

时，f(x)取最小值。

奇偶、单调性

奇偶性

双勾函数是奇函数。

单调性

令k=

，那么：

增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}

变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。

渐近线

对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一

点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数

该函数是奇函数,图象关于原点对称位于第一、三象限

当x>0时,由基本不等式(均值不等式)可得：y ≥2√ab

当且仅当ax=b/x,即x=√(b/a)时取等号

故其顶点坐标为(√(b/a),2√ab),图象在(0,√(b/a))上是单调递减的,在(√(b/a),+∝)上是单调递增

同理：当x<0时,由基本不等式可得：y≤-2√ab

当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号

故其顶点坐标为(-√(b/a),-2√ab),

图象在(-∝,-√(b/a))上是单调递增,

在(-√(b/a),0)上是单调递减的

当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况

“NIKE”函数最大值：

对于f(x)=x+a/x这样的形式(“√a”就是“根号下a”)

当x>0时,有最小值,为f(√a)

当x=2√ab[a,b都不为负])

比如：当x>0是f(x)有最小值,由均值定理得：

x+a/x>=2√(xa/x)=2√a

故f(x)的最小值为2√a

同理也可以证明最大值

其实把图像做出来就一目了然了

其实，对勾函数是没有最小值的，只有在某半边有最小值。

你说的应该是f(x)=ax+b/x(ab>0)吧，两种做法：

1、求导，f'(x)=a-b/(x^2)，f'(x)=0,x=正负sqrt(b/a)。而在+sqrt(b/a)所在的半边向上勾，所以极小值为当x=sqrt(b/a)时取得

2、均值不等式（你们应该学过），x>0时f(x)=ax+b/x>=2sqrt(ab)，等号当且仅当ax=b/x时，即x=sqrt(b/a)取得。此时为极小值。

顺便纠正一个概念，应该说对勾函数的极小值点是sqrt(b/a)

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