关于椭圆和双曲线的性质

定义

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的）

1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离，一般称为2a）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；

2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的;

[编辑本段]标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)

2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2(a^2-b^2)^05，焦距与长短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1

[编辑本段]公式

椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长)

或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长)

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

L = ∫[0,π/2]4a sqrt(1-(ecost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则

e=PF/PL

椭圆的准线方程

x=±a^2/C

椭圆的离心率公式

e=c/a(e<1,因为2a>2c)

椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c

椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离，数值=2b^2/a

点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1

点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1

相切△=0

相离△＜0无交点

相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a

[编辑本段]椭圆参数方程的应用

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

相关性质

由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

-----关于圆锥截线的某些历史：圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥截缐论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲缐的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲缐；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运\行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3（1）求椭圆C的方程（2）直线l：y=x+1与椭圆交与a，b两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值（3）设直线l与椭圆C交与A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c==√2，b=√(a²-c²),b=1,方程是x^2/3+y^2/1=1，二，要求面积，显然已ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-15,y2=-05利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值）弦长=3√2/2,对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m,利用判别式等于0，求的m=2,-2结合图形得m=-2x=15,y=-05,p(15,-05),直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的3√2/2,面积1/23√2/23√2/2=9/4,

一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：

1 双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

要注意两点：（1）距离之差的绝对值（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同

当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在

2双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）这里，其中||=2c要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同

3双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上

4求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解

二．双曲线的内外部：

(1)点在双曲线的内部

(2)点在双曲线的外部

三双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为渐近线方程：

(2)若渐近线方程为双曲线可设为

(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

四．双曲线的简单几何性质

－=1（a＞0，b＞0）

⑴范围：|x|≥a，y∈R

⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称

⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）

⑷渐近线：

①若双曲线方程为渐近线方程

②若渐近线方程为双曲线可设为

③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是

⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是

五．双曲线 与 的区别和联系

标准方程

性

质

焦点

，

焦距

范围

顶点

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

6弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。

第三部分 典型例题分析

考点1 双曲线的定义及标准方程

题型1：运用双曲线的定义

[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s 已知各观测点到该中心的距离都是1020m 试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

解题思路时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．

[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，

依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处

名师指引解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”

新题导练

1设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）

A． B．12 C． D．24

解析： ①

又②

由①、②解得

直角三角形，

故选B。

2如图2所示，为双曲线的左

焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（ ）

A．9 B．16 C．18 D．27

[解析] ，选C

3P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）

（A） （B） （C） （D）

［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，

由圆的切线性质知，

题型2 求双曲线的标准方程

[例2 ]已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）求双曲线C的方程．

解题思路运用方程思想，列关于的方程组

[解析]解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求c=2

又双曲线过点（3，2），∴－=1

又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8

故所求双曲线的方程为－=1

解法二：设双曲线方程为－＝1，

将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1

名师指引求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用

新题导练

4已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；

[解析]设双曲线方程为，

当时，化为，，

当时，化为，，

综上，双曲线方程为或

5以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________

[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为

6已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为

A． B．

C．（x > 0） D．

[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B

考点2 双曲线的几何性质

题型1 与渐近线有关的问题

1焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

A． B． C． D．

[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B

基础巩固训练

2以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是

（A） （B）

（C） （D）

[解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A

类型三：综合练习

1已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为

（Ⅰ）求双曲线C的方程

（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围

解（1）设双曲线方程为

由已知得，再由，得

故双曲线的方程为

（2）将代入得

由直线与双曲线交与不同的两点得

即且 ① 设，则

，由得，

而

于是，即解此不等式得 ②

由①+②得

故的取值范围为

2．已知直线与双曲线交于、点。

（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；

（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，

请求出的值；若不存在，说明理由。

解：（1）由消去，得（1）

依题意即且（2）

（2）设，，则

∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴

但

由（3）（4），，

∴ 解得且满足（2）

（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直

∴ ，即 直线的方程为

将代入（3）得

∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为

但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。

3．(1)椭圆C:(a＞b＞0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,

求椭圆的方程;

(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;

(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。

解：(1)

(2)设中点为(x,y), F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 Þ

(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1

则 为定值

4已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

错解 设符合题意的直线存在，并设、

则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得

若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由

得 根据,说明所求直线不存在。

5已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点。

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

故曲线的方程为

设，由题意建立方程组

消去，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

解得

∵

依题意得

整理后得

∴或

但 ∴

故直线的方程为

设，由已知，得

∴，

又，

∴点

将点的坐标代入曲线的方程，得得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴，点的坐标为

到的距离为

∴的面积

6已知P为双曲线的右支上一点，分别是椭圆的长轴顶点，连接交椭圆于，若与面积相等

（1）求直线的斜率和直线的倾斜角；

（2）当的值为多少时，直线恰好过椭圆的右焦点？

7已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线与双曲线交于,求线段的中点P的轨迹方程；

（3）过点能否作直线，使与所给双曲线有两个交点，且点是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由

8已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：由条件知，，设，．

（I）解法一：（I）设，则则，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

（II）假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

9（2009上海卷）（本题满分16分）

已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。

（1） 求双曲线C的方程；

（2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；

（3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为

（1）解 设双曲线的方程为

，解得，双曲线的方程为

（2）解 直线，直线

由题意，得，解得

（3）证明 方法一 设过原点且平行于的直线

则直线与的距离当时，

又双曲线的渐近线为

双曲线的右支在直线的右下方，

双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。

故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为

（3）方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，

则

由（1）得

设，

当时，；

将代入（2）得

，

方程不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为

10（2009福建卷文）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线

分别交于两点。

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

故椭圆的方程为

（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，

从而

由得0

设则得，从而

即又

由得

故

又

当且仅当，即时等号成立

时，线段的长度取最小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，

此时的方程为

要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或

焦点F对应的准线l为y=a²/c=12/5

设A、B、C三点到准线l的距离分别是：d1、d2、d3，那么根据双曲线第二定义，有：

|AF|/d1=|BF|/d2=|CF|/d3=e

∴|AF|=d1e，|BF|=d2e，|CF|=d3e

∵|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，所以：

∴|BF|-|AF|=|CF||-|BF|，即：|AF|+|CF|=2|BF|

∴d1e+d3e=2d2e

∴d1+d3=2d2

∵A(x1，y1)，B(√26，6)，C(x2，y2)并且准线方程为：y=12/5

∴d1=y1-12/5，d2=6-12/5，d3=y2-12/5

由：d1+d3=2d2可得：

(y1-12/5)+(y2-12/5)=2(6-12/5)

∴y1+y2=12

手工计算，错了轻拍~

双曲线的四种定义

双曲线第一定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

例1设圆C1:(x+√5)2+y2=4与圆C2：（x-√5)2+y2=4，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切．求动圆C的圆心轨迹L的方程；

分析（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，可得|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．

解答解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），半径为r，

则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，

∴|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|＝2，

由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，b＝1，

双曲线的方程为：x2/4-y2=1(x≥2)；

点评通过圆与圆的位置关系，消除动圆半径后符合双曲线的定义，通过定义直接写出方程．

双曲线第二定义（统一定义）：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

例2设双曲线x2-y2/3=1的左右焦点为F1，F2．点P（6，6）为双曲线内部的一点，点M是双曲线右支上的一点，求|MP|+|MF2|/2的最小值．

分析设过M作准线的垂线MN，垂足为N，欲求|MP|+|MF2|/2的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．

解答解∵双曲线方程为x2-y2/3=1，

∴a＝1，b=√3，c＝2，

可得离心率e＝2，

设过M作准线的垂线MN，垂足为N，则|MF2|/|MN|=2，

∴|MN|=|MF2|/2，

∴|MP|+|MF2|/2＝|MP|+|MN|，

当且仅当M，N，P三点共线时|MP|+|MF2|/2的值最小，这个最小值为6-1/2=11/2．

点评求|MP|+|MF2|/2的最小值，通过圆锥曲线的统一定义将|MF2|/2转化为|MN|，点到直线垂线段最短．

双曲线第三定义（参数方程）：双曲线方程：x2/a2-y2/b2=1，可以看成：(x/a)2-(y/b)2=1。而且：sec2α-tan2α=1，所以x=asecα,y=btanα

在以a、b为半径的圆上分别画出角α对应的asecα与btanα值对应的线段，以（asecα，btanα）为坐标点形成的轨迹即为双曲线。

以下视频来源于

解题的艺术

说明双曲线的参数方程不是高考范围内的内容，对比椭圆的参数作为了解。

双曲线第四定义（斜率积）：双曲线的两个顶点与双曲线上任意一点形成两条直线，两条斜率积为b2/a2。

例3已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA1与PA2（A1，A2为双曲线C的两个顶点）的斜率之积KPA1KPA2=1，求双曲线C的标准方程．

分析分类讨论，设出标准方程，确定双曲线的顶点坐标，利用斜率关系及点P的坐标，即可得到结论．

解答

点评知道斜率积结论，清晰知道解题思路，把斜率积转化成与a、b相关方程得解．

这个根据双曲线的定义做。

就是双曲线上的点到两焦点的距离的差为定值2a

因为在ab在右支。所以AF2-AF1=2a。BF2-BF1=2a两式相减的，AF2+BF2=2a+m

三角形ABF2的周长不就是AB+AF2+BF2吗。所以，周长为2a+2m

1双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 =1的简单几何性质

(1)范围：|x|≥a,y∈R

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称

(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c^2=a^2+b^2与椭圆不同

(4)渐近线：双曲线特有的性质

方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）

或

令双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2 =1中的1为零即得渐近线方程

(5)离心率e>1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/ax,离心率e=c/a=√2　(7)共轭双曲线：方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1与x^2/a^2-y^2/b^2=-1 表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式

双曲线的简单几何性质

一、\x09本讲主要内容

1、\x09双曲线的第二定义

2、\x09双曲线的几何性质及应用

3、\x09直线与双曲线的位置关系

二、\x09学习指导

1、\x09双曲线的几何性质分为两大类

（1）\x09自身固有的几何性质：

① 位置关系：中心是两焦点,两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直；

② 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c两准线之间距离为 ； 焦准距（焦参数） ；

③ 离心率 ,e>1,e越大,双曲线开口越阔

（2）\x09解析性质（与坐标系有关）,列表比较如下：

\x09焦点在x轴上的双曲线\x09焦点在y轴上的双曲线

方 程\x09 （a>0,b>0）

（a>0,b>0）

顶 点\x09（±a,0）,（0,±b）\x09（0,±a）,（±b,0）

焦 点\x09F1（-c,0）,F2（c,0）\x09F1（0,-c）,F2(0,c)

准 线\x09x=±

y=±

渐近线\x09y=±

y=±

对称性\x09关于x轴、y轴轴对称,关于原点中心对称

范 围\x09|x|≥a,y∈R\x09|y|≥a,x∈R

焦半径\x09P在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0

P在右支：|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a\x09P在下支：|PF1|=-a-ey0,|PF2|=a-ey0

P在上支：|PF1|=ey0+a,|pF2|=ey0-a

2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同,见教材P112例3第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容

3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆但由于双曲线多了渐近线,因此当直线与双曲线有一个公共点时,其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切,此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x（或y）的二次方程的判别式△=0；二是直线与双曲线相交,具体地说,也就是直线与双曲线的渐近线平行此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x（或y）的方程为一次方程

直线与双曲线相交时,基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法不管是哪一种途径,都要强化设而不求的思想

4、在 （a>0,b>0）中,若a=b,则双曲线为等轴双曲线,其离心率

5、\x09双曲线 与 称为共轭双曲线

5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率e1、e2满足 =1

若k>3，则k-3>0，k+3>0，方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以 k>3是方程表示双曲线的充分条件。

但它不是必要条件。

当k-3<0，k+3<0时，即k<-3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线,

即方程表示双曲线时,推不出k>3，也可能是k<-3。

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