数学计数原理，例一

计数是一个重复加（或减）1的数学行为，通常用于算出对象有多少个或放置想要之数目个对象（对第一个对象从一算起且将剩下的对象和由二开始的自然数做一对一对应）。此外，计数亦可以被（主要是被儿童）使用来学习数字名称和数字系统的知识。 由现今的考古证据可以推测人类计数的历史至少有五万年，并由此发展导致出数学符号及记数系统的发展。古代文化主要使用计数在记录如负债和资本等经济数据（即会计）。

计数原理：

分类加法计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法‥‥‥，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

N=m1+m2+···+mn种不同的方法

分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法‥‥‥，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2 × ··· × mn种不同的方法

计数方法：

科学计数法

数学术语，a×10的n次幂的形式。将一个数字表示成 （a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|<10，n 表示整数，这种记数方法叫科学记数法。数字很大的数，一般我们用科学记数法表示，例如6230000000000;我们可以用623×10^12表示，而它含义是什么呢？从直面上看是将数字623中6后面的小数点向右移去12位。 若将623×10^12写成623E12，即代表将数字623中6后面的小数点向右移去12位。有效数字是指从左面不为0的数开始

例如：890314000保留三位有效数字为89010的8次方

839960000保留三位有效数字为84010的8次方

000934593保留三位有效数字为93510的-3次方

0004753=47531/1000=475310的负三次方

中国计数法

中国人在计数时，常常用笔画“正”字，一个“正”字有五画，代表5，两个“正”字就是10，以此类推。这个计数方法简便易懂，很受中国人欢迎。那么，到底是谁最先开始使用这个聪明的方法的呢？据说这种方法最初是戏院司事们记“水牌账”用的。

清末民初，戏园（俗称茶园）是人们日常生活中重要的娱乐场所。每天戏园里要迎来很多观众。可是那时候还没有门票这种东西，戏园就安排“案目”（就是现在所说的服务员）在戏院门口招徕看客，领满五位入座，司事（记账先生）便在大水牌（类似黑板）上写出一个“正”字，并标明某案目的名字。座席前设有八仙桌，看客可边品茶边看戏。稍后由案目负责计数、收费。到散场结账时准确无误。

这个方法随着戏院实行门票制而被废弃了，但是作为一种简明、易懂、方便的记数法，一直流行于民间。到现在很多中国人在统计选票、清点财物等时候，都还保持着用“正”字计数的习惯。

分类计数原理和分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳抽象出来的基本规律，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的理论基础，而且其基本思想方法贯穿在整个排列、组合问题之中。

通过学习梳理希望能帮大家掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用此两个原理分析和解决一些简单的问题；能根据事件特征来区分到底是用分类计数原理还是分步计数原理，并能交叉利用两个原理来解决较复杂的问题。

一、程序框图

对于分类计数原理与分步计数原理的综合应用问题，一般的解题步骤是：整体上先分类，局部上再考虑分步或再次分类。这一程序可用下面的框图表示为：

其中框图中的第1列是分类关系，第2列是分步关系，于是完成事件S共有的不同方法种数为：

二、要点精析

1．分类计数原理中的“做一件事，完成它可以有n类办法”，是对完成这件事的所有方法的一个分类。分类时，首先是根据问题的特点确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；其次，分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，只有满足这些条件，即做到“不重不漏”才能用分类计数原理。

2．分类计数原理的集合表述形式为：做一件事，完成它的办法用集合S表示，S被划分成n类办法分别用集合S1，S2，…，Sn表示，即S = S1∪S2∪…Sn，且Si ∩ Sj=Φ(i≠j；i、j= 1，2，3，…，n)，S1，S2，…，Sn 中分别有M1，M1，…，Mn种不同的方法，即集合S1，S2，…，Sn中分别含有M1，M2，…，Mn个元素，那么，完成这件事共有的方法，即集合S中元素的个数为：M1＋M2＋…＋Mn。如下图所示。

3．分步计数原理中的“做一件事，完成它可以需要分成n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤。分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准，其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续这n个步骤后这件事才算完成，只有满足这些条件，才能用分步计数原理。

4．在分步计数原理中，完成一件事分为若干个有联系的步骤，只有前一个步骤完成后，才能进行下一个步骤。当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成。但每个步骤中可以有多种不同的方法，而这些方法之间是相互独立的。

5．两个基本原理的区别在于前者每次得到的是最后结果——分类计数原理，后者每次得到的中间结果——分步计数原理。表解如下：

三、特别提示

1．理解分类计数原理，要注意以下三点：

⑴清楚怎样才是完成“一件事”的含意，即知道做“一件事”，或叫完成一个“事件”在每个题中具体所指。

⑵解决“分类”问题应用分类计数原理。需要分类的事件不妨叫做“独立事件”，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B就可以单独完成，每类办法都可以完成这件事。注意各类之间的独立性和并列性，否则，不独立会出现重复，不并列会出现遗漏。

⑶每个问题中，标准不同，分类也不同。分类基本要求是，每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的(不重复)。

2．分类计数原理是对涉及完成某一件事的不同类方法种数的计数方法。每一类中的每一种方法都可以完成这件事；每一类的各种方法都是相互独立的。因此，运用分类计数原理时，要恰当进行分类，做到既简捷，又不遗漏、不重复。

Amn=m!/(m-n)!。

例如：A（4，2）=4!/2!=43=12。

组合的公式：C（n，m）=P（n，m）/P（m，m） =n!/m!（n-m）!。

例如：C（4，2）=4!/（2!2!）=43/(21)=6。

排列组合的基本计数原理：

1、加法原理和分类计数法

加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

2、乘法原理和分步计数法

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

合理分步的要求：

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

与后来的离散型随机变量也有密切相关。

分类计数原理

（1）首先弄清要完成一件什么事，怎样才算完成这件事；

（2）要确定一个分类标准，分类要做到“不重不漏”,即任意完成这件事的两种方法都是不同的，且完成这件事的每一种方法必属于某一类；

（3）各类之间相互独立，且每类里的每种方法都能独立完成这件事;

（4）因为各类方法数相加即可得到完成这件事的方法总数，所以分类计数原理又叫加法原理

2分步计数原理

（1）首先弄清要完成一件什么事，怎样才算完成这件事；

（2）确定一个合适的分步标准，注意每个步骤相互依存,缺一不可，只有连续完成每一个步骤，这件事才算完成；

（3）因为每步方法数相乘得到完成这件事的方法总数，所以分步计数原理又叫乘法原理

两个原理的相同点与不同点：

共同点：都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理，因此都要先弄清是怎样一件事,如何才算完成这件事

2不同点：分类计数原理中的n类办法相互独立，  且每类里的每种方法都可独立完成这件事； 分步计数原理中的各个步骤互相依存，每一步都不能独立完成该件事，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成

总结：

（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．（加法原理）

（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才算完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．（乘法原理）

（3）分类计数原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

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