我们应该如何看待芝诺的四个悖论

一、不可否认的是，芝诺四大悖论无疑是错误的，其通病在于采取孤立、静止和片面的形而上学观点看问题，因而是错误的。二、芝诺悖论介绍 1．二分法：穿过一定距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半,传个这个距离的一半之前,你必须穿过一半的一半,即你必须穿过无限多个中点,因而你不可能在有限的时间里穿过这个确定的距离 2．阿喀流斯和乌龟：假设阿喀流斯和乌龟赛跑,乌龟在阿的前面一段距离开始起跑,所以阿必须先跑到乌龟的起跑点,而这时乌龟又向前进了一段距离,如此,虽然阿的速度快于乌龟,阿越追越近,但总也追不上乌龟 3．飞矢不动．箭在飞的过程中,在每一个瞬间来看都是静止,所以箭是不动的 时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度原来,我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的如太阳每天的东升西落,月亮的圆缺变化,一年四季的推移,钟摆的运动等等人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的芝诺悖论中除了普通的钟以外,还有另一种很特别的“钟”,就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环 用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”例如,当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时,芝诺时记为n,这样,在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟,那么他跑完BC只要6秒钟,跑完CD只需 06秒,实际上,他只需要1 1/9分钟就可以追上乌龟了 因此,芝诺悖论的产生原因,是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象在芝诺时达到无限后,正常计时仍可以进行,只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的,运动也不是连续的

悖论一（二分法悖论）：从A点到B点是不可能的。

看了这个命题，你会马上说，这怎么不可能？别着急，我们先来看看芝诺的逻辑。

芝诺讲，要想从A到B，先要经过它们的中点，我假设是C点，而要想到达C点，则要经过A和C的中点，假设是D点……这样的中点有无穷多个，找不到最后一个。因此从A点出发的第一步其实都迈不出去。

悖论二（阿喀琉斯悖论）：阿喀琉斯追不上乌龟。

我们知道阿喀琉斯是古希腊神话中著名的飞毛腿，但是芝诺讲如果他和乌龟赛跑，只要乌龟跑出去一段路程，阿喀琉斯就永远追不上了。按照我们的常识，芝诺的讲法当然是错的。不过我们还是听听他的逻辑。

为了方便起见，我们简单地假设阿喀琉斯奔跑的速度是乌龟的10倍。如果乌龟先跑出10米。等阿喀琉斯追上了这10米，乌龟又跑出1米，等阿喀琉斯追上这1米，乌龟又跑出01米……总之阿喀琉斯和乌龟的距离在不断接近，却追不上。

悖论三（飞箭不动悖论）：射出去的箭是静止的。

在芝诺的年代，运动最快的是射出去的箭。但是芝诺却说它是不动的，因为在任何一个时刻，它有固定的位置，既然有固定的位置，就是静止的。而时间则是由每一刻组成，如果每一刻飞箭都是静止的，那么总的说来，飞箭就是不动的。

这个悖论，可能就比前两个难辩驳了。

悖论四（基本空间和相对运动悖论）：两匹马跑的总距离等于一匹马跑的距离。

如果有两匹马分别以相同的速度往两个方向远离我们而去，我们站在原地不动。在我们看来，单位时间里它们各自移动了一个单位Δ（Δ通常表示增量），显然一匹马跑出去的总距离就是很多Δ相加。但是如果两匹马上有人，那么在彼此看来，对方在单位时间却移动了两个Δ长度，彼此的距离应该是很多两倍的Δ相加。

那么，如果Δ非常非常小，小到无限接近于零，芝诺就干脆认为Δ=0，0乘以任何数还是0，那么1Δ＝2Δ。但是左右两匹马跑出去的总距离怎么可能等于一匹马跑的距离呢？

解析

今天我们就用无穷小的概念回答芝诺的第1、2和第4个悖论，由于第一个和第二个悖论其实是一回事，我们只讨论第二个，也就是阿喀琉斯和乌龟赛跑的例子。

我们知道，在阿喀琉斯悖论中，芝诺其实把阿喀琉斯追赶的时间分成了无限份，每一份逐渐变小却又不等于零。比如我们假设阿喀琉斯一秒钟跑10米，那么芝诺所分的每一份时间就是1秒、01秒、001秒，等等。如果我们把它们加起来，就是之前讲的等比级数。

S=1+01+001+0001+……

接下来的问题是，这样无限份的时间加起来是多少？假如每一份时间都存在一个最小的、具体的长度，那么这样子的无限份加起来显然就是无限大，这是矛盾所在。但是，如果我们能够定义一个被称为“无穷小”的量，它满足这样两个条件，芝诺的悖论就能够解决了。

1 它不是零；

2 它的绝对值小于任何一个你能够给定的数。比如你说10^-100（10的负100次方就是10的100次方分之一）非常小，那么我这个无穷小比你说的还小，如果你说再来一个更小的数10^-10000，那么我这个无穷小依然比你的数字小。

无穷多个无穷小量加在一起可以有三种情况，分别是一个有限的数，无穷大，或者是无穷小，我们在后面介绍无穷大和无穷小的比较时会详细讲。

在这个具体情况中，无限个无穷小量加起来是一个有限的数，这一点我们在后面讲到极限的概念时会说明，S这个级数的极限是10/9。

因此引入了无穷小的概念，就解决了阿喀琉斯悖论。可以讲，正是阿喀琉斯悖论帮助我们补上了数学上的一个缺失。

其实芝诺的错误就是把无穷小直接当做了0。

至于第三个悖论，芝诺其实混淆了两个概念，即瞬间位移量和瞬间速度的差别。芝诺注意到了当间隔时间Δt趋近于零的时候，箭头飞行的距离ΔS也趋近于零。但是，它们的比值，也就是速度，并不是零。

至于第四个相对运动悖论，其实说起来就更简单了。芝诺所说的Δ，其实就是无穷小，虽然它趋近于零，但是不等于零，因此Δ≠2Δ。

总结

当逻辑和我们的经验有了矛盾时，有两个结果，一个结果是我们的经验错了。比如说，到底是地球围绕太阳转，还是太阳围绕地球转？在这件事上，我们的经验就错了。当然还有一个可能性就是，我们看似正确的逻辑，本身可能有问题，因为有概念的缺失，芝诺的悖论就属于第二种。

更正一下：芝诺悖论所说明的不是时空是不可无限分割，而是指同一科学不可适用于整个时空，从哲学从来不是用来证明什么的，因为理论不同，理解不同，结论也不同。我们可以用一种哲学证明它，同样可以用另一种哲学证伪它

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