一．方差的概念与计算公式
例1 两人的5次测验成绩如下：
X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；
Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值，记为D(X )：
直接计算公式分离散型和连续型，具体为：
这里 是一个数。推导另一种计算公式
得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即
，
其中
分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
二．方差的性质
1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；
2． D(CX )=C2 D(X ) （常数平方提取）；
证：
特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）
3．若X 、Y 相互独立，则
证：记
则
前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为
当X、Y 相互独立时，
，
故第三项为零。
特别地
独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
三．常用分布的方差
1．两点分布
2．二项分布
X ~ B ( n, p )
引入随机变量 Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）
，
3．泊松分布（推导略）
4．均匀分布
另一计算过程为
5．指数分布（推导略）
6．正态分布（推导略）
~
正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。
例2 求上节例2的方差。
解 根据上节例2给出的分布律，计算得到
工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。
s是标准差（Standard
Deviation）。
1样本方差的符号是s2（S上标2）；
2样本标准差是方差的正平方根，其单位与原变量值单位相同，故可以与原变量相加。
标准差σ的符号读：[ˈsɪgmə]。
σ是希腊字母，英文表达sigma，汉语译音为“西格玛”。术语σ用来描述任一过程参数的平均值的分布或离散程度。
sigma
英 [ˈsɪgmə] 美 ['sɪɡmə]
n希腊字母表的第十八字母（∑，σ）。
扩展资料：
标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。
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