三角函数的辅助角公式

gkd2023-05-02  24

asinx+bcosx=√(a^2+b^2)(a/√(a^2+b^2)sinx+b/√(a^2+b^2)cosx);利用公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ可得asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u)其中tanu=b/a利用公司cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ可得asinx+bcosx=√(a^2+b^2)cos(x-u)其中tanu=a/b

三角函数辅助角公式推导:

asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]

令a/√(a²+b²)=cosφ,b/√(a²+b²)=sinφ

asinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)

其中,tanφ=sinφ/cosφ=b/a,φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同

简单例题:

(1)化简5sina-12cosa

5sina-12cosa

=13(5/13sina-12/13cosa)

=13(cosbsina-sinbcosa)

=13sin(a-b)

其中,cosb=5/13,sinb=12/13

(2)π/6<=a<=π/4

,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值

令f(a)

=sin²a+2sinacosa+3cos²a

=1+sin2a+2cos²a

1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)

=2+(sin2a+cos2a)

=2+根号2sin(2a+π/4)(辅助角公式)

因为7π/12<=2a+π/4<=3π/4

所以f(a)min=f(3π/4)=2+(根号2)sin(3π/4)=3

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 vercosθ =1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式:

·平方关系:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系:

sinα=tanαcosα

cosα=cotαsinα

tanα=sinαsecα

cotα=cosαcscα

secα=tanαcscα

cscα=secαcotα

·倒数关系:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数:

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式:

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

·倍角公式:

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式:

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式:

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式:

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式:

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他:

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

部分高等内容

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解:

对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。

特殊三角函数值

a 0` 30` 45` 60` 90`

sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1

cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0

tana 0 √3/3 1 √3 None

cota None √3 1 √3/3 0

三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2++cnxn+=∑cnxn (n=0∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2++cn(x-a)n+=∑cn(x-a)n (n=0∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,cn及a都是常数, 这种级数称为幂级数

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!(x-a)+f''(a)/2!(x-a)2+f(n)(a)/n!(x-a)n+

实用幂级数:

ex = 1+x+x2/2!+x3/3!++xn/n!+

ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-(-1)k-1xk/k+ (|x|<1)

sin x = x-x3/3!+x5/5!-(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+ (-∞<x<∞)

cos x = 1-x2/2!+x4/4!-(-1)kx2k/(2k)!+ (-∞<x<∞)

arcsin x = x + 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 + (|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 + ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - (x≤1)

sinh x = x+x3/3!+x5/5!+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+ (-∞<x<∞)

cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+(-1)kx2k/(2k)!+ (-∞<x<∞)

arcsinh x = x - 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 - (|x|<1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + (|x|<1)

--------------------------------------------------------------------------------

傅立叶级数(三角级数)

f(x)=a0/2+∑(n=0∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π-π) (f(x)sinnx)dx

特殊值

sin30=1/2

sin45=二分之根号二

sin60=二分之根号三

sin90=1

sin120=二分之根号三

sin135=二分之根号二

sin150=1/2

sin180=0

cos30=二分之根号三

cos45=二分之根号二

cos60=1/2

cos90=0

cos120=-1/2

cos135=-二分之根号二

cos150=-二分之根号三

cos180=-1

tan30=三分之根号三

tan45=1

tan60=根号三

非特殊值又不在公式范围内的题目不可能叫你空手算的,也不太可能算出来准确答案,732YY已说了,我就不多言了

亲,给个好评吧

辅助角公式是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式

使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。虽然该公式已经被写入中学课本,但其几何意义却鲜为人知,如图:

诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值

(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

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