什么是伯努利事件

1伯努利试验（或称贝努里试验）概念：是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

2特征：这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件A要么发生，要么不发生。并且每次发生的概率都是相同的。

3如何判断：判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响。

4应用：考题多为计算独立重复试验中，事件恰好发生的概率

5公式：①如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发生k次的概率记作Pn(k)，则C（n，k）p的K次方（1-P）的n-K次方

6简单例题：设试验E只可能有两种结果：“A”和“非A”,则称试验E为伯努利试验

在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了。当然了，这个压力到底有多大，一个高深的流体力学公式“伯努利方程”会去计算它。

伯努利开辟并命名了流体动力学这一学科，区分了流体静力学与动力学的不同概念。1738年，他发表了十年寒窗写成的《流体动力学》一书。他用流体的压强、密度和流速等作为描写流体运动的基本概念，引入了“势函数”“势能”（“位势提高”）来代替单纯用“活力’讨论，从而表述了关于理想流体稳定流动的伯努利方程，这实质上是机械能守恒定律的另一形式。他还用分子与器壁的碰撞来解释气体压强，并指出，只要温度不变，气体的压强总与密度成正，与体积成反比，用此解释了玻意耳定律。

伯努利方程

设在右图的细管中有理想流体在做定常流动,且流动方向从左向右,我们在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体,即a1处和a2处之间的流体,作为研究对象设a1处的横截面积为S1,流速为V1,高度为h1;a2处的横截面积为S2,流速为V2,高度为h2

思考下列问题:

①a1处左边的流体对研究对象的压力F1的大小及方向如何

②a2处右边的液体对研究对象的压力F2的大小及方向如何

③设经过一段时间Δt后(Δt很小),这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离分别为ΔL1和ΔL2,则左端流入的流体体积和右端流出的液体体积各为多大 它们之间有什么关系 为什么

④求左右两端的力对所选研究对象做的功

⑤研究对象机械能是否发生变化 为什么

⑥液体在流动过程中,外力要对它做功,结合功能关系,外力所做的功与流体的机械能变化间有什么关系

推导过程:

如图所示,经过很短的时间Δt,这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离为ΔL1和ΔL2,左端流入的流体体积为ΔV1=S1ΔL1,右端流出的体积为ΔV2=S2ΔL2

因为理想流体是不可压缩的,所以有

ΔV1=ΔV2=ΔV

作用于左端的力F1=p1S2对流体做的功为

W1=F1ΔL1 =p1·S1ΔL1=p1ΔV

作用于右端的力F2=p2S2,它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左,而这段流体的位移向右),所做的功为

W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV

两侧外力对所选研究液体所做的总功为

W=W1+W2=(p1-p2)ΔV

又因为我们研究的是理想流体的定常流动,流体的密度ρ和各点的流速V没有改变,所以研究对象(初态是a1到a2之间的流体,末态是b1到b2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变这样,机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能,即

E2-E1=ρ()ΔV+ρg(h2-h1)ΔV

又理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能

∴W=E2-E1

(p1-p2)ΔV=ρ(-))ΔV+ρg(h2-h1)ΔV

整理后得:整理后得:

又a1和a2是在流体中任取的,所以上式可表述为

上述两式就是伯努利方程

当流体水平流动时,或者高度的影响不显著时,伯努利方程可表达为

该式的含义是:在流体的流动中,压强跟流速有关,流速V大的地方压强p小,流速V小的地方压强p大

伯努利概型又称伯努利试验（Bernoulli experiment）。

伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。

我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验。

伯努利试验是一个有两种结果的简单试验，它的结果是成功或失败，黑或白，开或关，没有中间的立场，没有妥协的余地。

这样的例子也特别多，例如我们观察从一副纸牌中拿出一张牌，它或者是黑色或者是红色；接生一个婴儿，或者是男孩或者是女孩；我们经历24小时的一天，或者遇到流星或者遇不到流星。

在每一种情况下，很方便设计一种结果“成功”，另外一种结果为“失败”，例如选出一张黑色牌，生出一个女儿，没有遇到流星都可以表示为“成功”。

然而，从概率的角度看，选择红牌、儿子、遇到流星为成功也是不会产生差异的。在这种场合下，“成功”是没有价值取向的色彩。

单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

伯努利试验

在概率论中，把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型,进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它次试验结果发生情况的影响，则称这n次试验是相互独立的。特别的，当每次试验只有两个可能结果时，称为n重伯努利试验。

丹尼尔·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。

作者简介：

丹尼尔·伯努利的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论文超过80种。

1734年，丹尼尔·伯努利与父亲约翰以“行星轨道与太阳赤道不同交角的原因”的佳作，获得了巴黎科学院的双倍奖金．丹尼尔获奖的次数可以和著名的数学家欧拉相比，因而受到了欧洲学者们的爱戴。

1725—1757年的30多年间他曾因天文学（1734）、地球引力（1728）、潮汐（1740）、磁学（1743，1746）洋流（1748）、船体航行的稳定（1753，1757）和振动理论（1747）等成果，获得了巴黎科学院的10次以上的奖赏。

丹尼尔·伯努利还是波伦亚（意大利）、伯尔尼（瑞士）、都灵（意大利）、苏黎世（瑞士）和慕尼黑（德国）等科学院或科学协会的会员，在他有生之年，还一直保留着彼得堡科学院院士的称号。

相关：伯努利定理实际应用

如果流管的横截面积沿流动方向缓变，则在工程应用中常常对流管的平均速度和平均压力应用伯努利定理。采用这样的近似处理再加上流管的连续性方程常常能够非常简单地得到一些有用的结果。

在真实流体中机械能沿流线不守恒，粘性摩擦力所作的功耗散为热能。因此在粘性流体中推广伯努利定理时，必须考虑阻力造成的能量损失。

伯努利方程的物理意义是经过过流断面上流体具有的机械能沿流程保持不变。几何意义是总水头沿流程不变。当速度增加，压强减少。当速度减小，压强增加。从另一种角度看，伯努利方程说，压力对流体所做的功等于流体动能的改变。给你一个不可压缩的、无粘性流体的流动场，你将可以找出那个流动场的压强场。

相关理论说明

这个理论是由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在1738年提出的，当时被称为伯努利原理。后人又将重力场中欧拉方程在定常流动时沿流线的积分称为伯努利积分，将重力场中无粘性流体定常绝热流动的能量方程称为伯努利定理。这些统称为伯努利方程，是流体动力学基本方程之一。

伯努利方程实质上是能量守恒定律在理想流体定常流动中的表现，它是流体力学的基本规律。在一条流线上流体质点的机械能守恒是伯努利方程的物理意义。

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