四边形的认识

四边形的定义

凸四边形

　作出一边所在直线，其余各边均在其同侧

平行四边形(包括:,普通平行四边形,矩形,菱形,正方形)

梯形(包括:普通梯形,直角梯形,等腰梯形)

凸四边形的内角和和外角和均为360度

凹四边形

作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧

不做重点研究

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。

平行四边形定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。

性质

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

判定

（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）

（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）

（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）

（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”

（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）

面积

平行四边形的面积公式：底×高 用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，

则S=ah

周长

平行四边形的周长=2×两邻边的和，用“a”、“b”表示两邻边，“C”表示平行四边形的周长，

则C=2（a+b）

矩形定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle)

性质

①矩形的四个角都是直角；

②矩形的对角线相等

注意：矩形也具有平行四边形的一切性质

判定

①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

②四个角都相等的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形；

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

⑤有三个角是直角的四边形是矩形

面积

设矩形的两条邻边长分别为a,b，则面积为ab

周长

设矩形的两条邻边长分别为a,b，则周长为(2a+2b)

菱形定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus)

菱形

性质

①菱形的四条边都相等；

②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

注意：菱形也具有平行四边形的一切性质

判定

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四条边都相等的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形

④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

面积

①对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；

②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx

周长

菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，

则C=4a

正方形定义

有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形(square)

正方形

性质

①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

判定

因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有四个途径

①有一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

③两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形

面积

①正方形面积=边长的平方 S=a×a（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）

②对角线乘积的一半

周长

正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长， 则C=4a

梯形及特殊梯形定义

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium)（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形）

梯形

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles trapezium)

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形

等腰梯形的性质

1、等腰梯形两腰相等、两底平行；

2、等腰梯形在同一底上的两个内角相等；

3、等腰梯形的对角线相等(可能垂直）；

4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴

等腰梯形的判定

1、两腰相等的梯形是等腰梯形；

2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

3、对角线相等的梯形是等腰梯形

面积

1、梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2

2、梯形面积=梯形中位线×高

周长

梯形的周长=上底+下底+腰+腰 用“a”、“b”、“c”、“d”分别表示梯形的上底、下底、两腰，“C”表示梯形的周长

则c=a+b+c+d

圆内接四边形定义

四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

圆内接四边形

性质

1、圆内接四边形的对角互补

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角

3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。（托勒密定理）

判定

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。

面积

圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)] （a,b,c,d为四边形的四边长,其中P=(a+b+c+d)/2

对角线垂直四边形定义

对角线互相垂直的四边形。

性质

四边形面积等于两条对角线的积的一半。

例：四边形ABCD中，AC⊥BD ，则S□ABCD=1/2·AC·BD

特殊四边形对角线垂直的特殊四边形有：菱形、正方形、特殊梯形。 四边形的不稳定性

四边形不具有三角形的稳定性，易于变形。但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。

平行四边形，长方形，正方形，梯形，菱形等等。

1、平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

2、长方形，数学术语，是有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。也定义为四个角都是直角的平行四边形，同时，正方形是一种特殊的长方形，也是菱形。

3、正方形：是特殊的平行四边形之一。即有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形，又称正四边形。

4、梯形：是只有一组对边平行的四边形 。平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

5、菱形：在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形是中心对称图形。

扩展资料：

四边形性质：不稳定性

四边形不具有三角形的稳定性，易于变形。但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。

小学平行四边形的概念如下：

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）。

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）。

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图平行四边形记为平行四边形ABCD。

：

平行四边形有如下性质：

两组对边平行且相等；

两组对角大小相等；

相邻的两个角互补；

对角线互相平分；

对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；

四边边长的平方和等于两条对角线的平方和

平行四边形，长方形，正方形，梯形，菱形等等。

1、平行四边形

平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。 平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

2、长方形

长方形也叫矩形，是一种平面图形，是有一个角是直角的平行四边形。长方形也定义为四个角都是直角的平行四边形。正方形是四条边长度都相等的特殊长方形。

长方形的性质为：两条对角线相等；两条对角线互相平分；两组对边分别平行；两组对边分别相等；四个角都是直角；有2条对称轴（正方形有4条）；具有不稳定性（易变形）；长方形对角线长的平方为两边长平方的和；顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。

3、正方形

正方形，是特殊的平行四边形之一。即有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形，又称正四边形。

正方形，具有矩形和菱形的全部特性。

4、梯形

梯形（trapezoid）是只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形（right trapezoid）。两腰相等的梯形叫等腰梯形（isosceles trapezoid）。

5、菱形

菱形（rhombus）是特殊的平行四边形之一。有一组邻边相等的平行四边形称为菱形。如右图，在平行四边形ABCD中，若AB=BC，则称这个平行四边形ABCD是菱形，记作◇ABCD，读作菱形ABCD。

由4条线段首尾相连组成的封闭图形。

包括：凸四边形和凹四边形 凸四边形是指四个内角均小于180度的四边形，

常见的有：正方形、长方形、梯形、平行四边形、菱形等；

凹四边形指有一个内角大于180度的四边形

由四条线段围成的平面图形叫四边形，由规则四边形和不规则四边形组成，四边形的内角和和外角和均为360度。

规则四边形：

1、平行四边形：在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。包括普通平行四边形，矩形，菱形，正方形。

2、梯形：只有一组对边平行的四边形。包括普通梯形，直角梯形，等腰梯形。

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