数学三大未解之谜

即费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。

费马猜想的证明于1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）完成，遂称费马大定理；

四色猜想的证明于1976年由美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)借助计算机完成，遂称四色定理；

哥德巴赫猜想尚未解决，目前最好的成果（陈氏定理）乃于1966年由中国数学家陈景润取得。这三个问题的共同点就是题面简单易懂，内涵深邃无比，影响了一代代的数学家。

未经查明的空中飞行物，国际上通称UFO，俗称飞碟。据目击者报告，不明飞行物外形多呈圆盘状（碟状）、球状和雪茄状……

20世纪40年代末起，不明飞行物目击事件急剧增多，引起了科学界的争论……

2尼斯湖水怪之谜

关于尼斯湖水怪最早的记载可追溯到公元565年，爱尔兰传教士圣哥伦伯和他的仆人在湖中游泳，水怪突然向仆人袭来……

3鬼魂之谜

古时候，在人们的观念中，一个人死后，他的灵魂依然存在于他死的地方或是他的坟墓之中……

4泰坦尼克号之谜

1912年4月15日，载着1316号乘客和891名船员的豪华巨轮“泰坦尼克号”与冰山相撞而沉没，这场海难被认为是20世纪人间十大灾难之一……

5肯尼迪死之谜

作为美国历史上最年轻的当选总统，他的灿烂笑脸和迷人风采、寻梦之路和悲剧性结局，都使他成为一种悲喜人生的标志……

1963年11月22日，美国总统约翰·肯尼迪在众目睽睽之下遇刺身亡，举国震惊！数十万美国人怀着悲痛涌向华盛顿参加葬礼……

6包尸布之谜

基督圣体裹尸布，又称“都灵圣体裹尸布”，是意大利都灵一座小礼拜堂里保存的一块十四尺五寸长、三尺八寸宽的布，被认为是用来包裹耶稣尸体的布……

7奇迹之谜

世界上伟大宗教的核心，都是因为某种神秘性而赢得虔诚的膜拜，哭泣的圣母玛利亚更是让人们笃信奇迹的存在……

8埃及古墓咒语之谜

埃及法老的诅咒一直充满着神秘色彩，“谁扰乱了法老的安眠，死神将张开翅膀降临在他的头上”……

9人体自燃之谜

人体自燃现象最早见于17世纪的医学报告，时至今日，有关的文献更是层出不穷，记载也更为详尽。那么，什么是人体自燃呢？人体为什么会自燃呢？

10韩国客机坠毁之谜

1983年8月31日深夜，韩国一架从美国安克雷奇飞往韩国首尔的波音747客机在苏联萨哈林岛上空被苏军击落，震惊世界……

孪生素数就是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：

存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。

素数对（p, p + 2）称为孪生素数。

在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。k = 1的情况就是孪生素数猜想。

质数的个数是无穷的。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。

哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。 因现今数学界已经不使用"1也是素数"这个约定，原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为"强哥德巴赫猜想"或"关于偶数的哥德巴赫猜想"。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为"弱哥德巴赫猜想"或"关于奇数的哥德巴赫猜想"。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为"哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理"或"三素数定理"。

《国外数学名著系列(影印版)29:数论中未解决的问题(第3版)》分题目列出了数论中尚未解决的一些问题和猜想，对开展研究工作有很好的指导意义并指明了一些研究方向。

作者: 盖伊 

出版社: 科学

译者: 张明尧 

出版年: 2006年12月

页数: 343 页

定价: 3000元

装帧: 平装

丛书: 数学名著译丛

ISBN: 9787030103109

目录

Preface to the Third Edition

Preface to the Second Edition

Preface to the First Edition

Glossary of Symbols

Introduction

APrime Numbers

A1Prime values of quadratic functions

A2Primes connected with factorials

A3Mersenne primesRepunitsFermat numbersPrimes of shape k2n+1

A4The prime number race

A5Arithmetic progressions of primes

A6Consecutive primes in AP

A7Cunningham chains

A8Gaps between primes Twin primes

A9Patterns of primes

A10Gilbreath's conjeoture

A11Increasing and decreasing gaps

A12PseudoprimesEuler pseudoprimesStrong pseudoprimes

A13Carmichael numbers

A14"Good"primes and the prime number graph

A15Congruent products of consecutive numbers

A16Gaussian and Eisenstien-Jacobi primes

A17Formulas for primes

A18The Erdos-Selfridge classification of primes

A19Values of n making n-2k primeOdd numbers not of the form pa 2b

A20Symmetric and asymmetric primes

BDivisibility

CAdditive Number Theory

DDiophantine Equations

ESequences of Integers

FNone of the Above

Index of Authors Cited

General Index

相关定理

在一个大于1的数a和它2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。

存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年）

一个偶数可以写成两个数字之和，其中每一个数字都最多只有9个质因数。（挪威布朗，1920年）

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) (中国，1968年)

一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国陈景润)

折叠编辑本段著名猜想

哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？

孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？

斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？是否有无穷多个的梅森素数？在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？是否存在无穷个形式如X2+1素数？

折叠编辑本段性质介绍

质数具有许多独特的性质：

质数

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

（4）质数的个数公式π（n）是不减函数。

（5）若n为正整数，在n的2次方到（n+1）的2次方 之间至少有一个质数。

（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到n!之间至少有一个质数。

（7）若质数p为不超过n(n大于等于4)的最大质数，则p>n/2 。

黎曼猜想

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。

在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。

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