求下面定积分的几何意义

在

上

时，我们已经知道，定积分

在几何上表示曲线

、两条直线

与

轴所围成的曲边梯形的面积；在

上

时，由曲线

、两条直线

与

轴所围成的曲边梯形位于

轴的下方，定积分

在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在

上

既取得正值又取得负值时，函数

的图形某些部分在

轴的上方，而其它部分在

轴的下方。如果我们对面积赋以正负号，在

轴上方的图形面积赋以正号，在

轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分

的几何意义为：它是介于

轴、函数

的图形及两条曲线

之间的各部分面积的代数和。

定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负，根据cosx在［0,2π］区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。

三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

应该这么说

（1）当曲线在x轴上方时，定积分算出来的值，与曲线下方、x轴上方以及积分限之间所围区域的面积恰好相等；这个时候可以说定积分的几何意义就是面积。

（2）而当曲线在x轴下方时，定积分算出来的值与曲线上方，x轴下方以及积分限之间所围区域的面积相差一个符号，因此严格地说定积分的几何意义就是面积并不完全正确，但是它又确实与面积有很大的关系，因为只是符号的差别，所以一般就说定积分的几何意义是面积。

而当曲线有些部分在x轴上方，有些在下方时，因为面积总是正的，而定积分算出来的值，在x轴上方为正，下方为负，由前面讨论的（1）（2）两点知，定积分算出来的值应该等于曲线在x轴上下两部分面积的代数和。

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

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