证明两个矩阵相似的充要条件：
1、两者的秩相等
2、两者的行列式值相等
3、两者的迹数相等
4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同
5、两者拥有同样的特征多项式
6、两者拥有同样的初等因子
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
扩展资料两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似。
但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似。
比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似。
比如如下两个矩阵
1 0 1 1
0 1和 0 1，
显然它们的特征值都是1，1
但是不能对角化，
因为1 1 不能找到两个线性无关的特征向量
0 1
注意n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件就是A有n个线性无关的特征向量，不能只看特征值。
所以当这两个矩阵都是实对称矩阵时，都一定可以对角化，于是有相同的特征值就一定相似。
相似的充要条件是它们的特征矩阵等价，这个结论超出了线性代数的范围，必要条件是行列式相等，特征值相同，迹相等。
当两个矩阵都可对角化时，相似的充要条件是特征值相同，对角化后看特征值。
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。
相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似
方法一（预备定理）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）
方法二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,
那么这两个三角形相似。(aa')
方法三如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等,
那么这两个三角形相似
（sas）
方法四如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(sss)
方法五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做
相似三角形
编辑本段一定相似的三角形
1两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1）
2两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）
3两个等边三角形一定相似。
编辑本段直角三角形相似判定定理1斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
编辑本段三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
编辑本段性质1相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3相似三角形周长的比等于相似比。
4相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6若a:c
=c:b，即c的平方=ab,则c叫做a,b的比例中项
7c/d=a/b
等同于ad=bc
两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。
扩展资料：
相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。
注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。
若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：
（1） 求出全部的特征值；
（2）对每一个特征值，设其重数为k，则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；
（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
参考资料来源：百度百科——相似矩阵
（1）两角对应相等，两三角形相似
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（3）三边对应成比例，两三角形相似
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似
判断三角形相似的条件：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等,这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）；
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似）；
（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。
相似三角形的判定定理：
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)；
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)；
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似
(简叙为两角对应相等，两个三角形相似)。
直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
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