用三种正多边形镶嵌平面的方案只有三种。是哪三种呢

三种正多边形镶嵌

11个正三角形和2个正四边形和1个正六边形

21个正四边形和1个正六边形和1个正十二边形

3正三角形和正四边形和正十二边形

附：正三角形和正四边形和正十二边形虽然能进行平面镶嵌，但不是所有顶点处都是有这三种图形构成

2个正五边形和1个正四边形虽然能在同一个顶点处内角和构成360度，但是他们只能围成一圈，外围不能再进行，会出现重叠现象，因此不能进行平面镶嵌

正四边形和正五边形和正二十边形虽然能在同一顶点处内角和构成360度，但是他们不能进行平面镶嵌

另：

单独的一个图形镶嵌：

任意三角形，

任意四边形，

正三角形

正四边形

正六边形

两种正多边形镶嵌

3个正三角形和2个正方形

2个正三角形和2个正六边形 或者 4个正三角形和1个正六边形

1个正三角形和2个正十二边形

1个正四边形和2个正八边形

嵌图形:规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般来说, 构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状, 例如经常在地板上使用的方瓦。然而, 埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的; 并且对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由。他的兴趣是从1936年开始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了当地使用的瓦的图案。他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些 "是我所遇到的最丰富的灵感资源"，1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道："在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了 ，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是。数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园。"

无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的--他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌。但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状。埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形。这样做的效果既是惊

同一个任意三角形，同一个任意四边形都能镶嵌成平面，

因为镶嵌成平面就是过一点的各角和为360度，而三角形内角和为180，四边形为360，所以任意的相同图形（三角形或四边形）都能嵌成平面

用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖、铺砌）平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°。

用一种任意多边形镶嵌

1．全等的任意三角形能镶嵌平面

把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面．如图

用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种

2．全等的任意四边形能镶嵌平面。

仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面．如图3．其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌．如图4．

3．全等的特殊五边形可镶嵌平面

圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论．1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°，a=e，a+e=d．图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究．

4．全等的特殊六边形可镶嵌平面

1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面．图7是其中之一．在图7的六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C=360°，a=d．

5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面．

用同一种正多边形镶嵌

只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面．

用多种正多边形镶嵌

所有的方法：

用1种：（3，3，3，3，3，3）（4，4，4，4）（6，6，6）；

用2种：（4，8，8）（3，12，12）（3，3，6，6）（3，3，3，3，6）（3，3，3，4，4）（5，5，10）

用3种：（3，4，4，6）（4，6，12）（3，3，4，12）（3，10，15）（3，9，18）（3，8，24）（3，7，42）（4，5，20）

其中的数字分别代表正多边形的边数。共有17种。是枚举出来的。

证明不能用3种以上的多边形镶嵌：

因为若用4种，则内角和最小为60+90+108+120=378>360，（三角形、正方形、正五边形、正六边形）。

另外其中带星号的的两个（5,10,10）（3,7,42）是只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。不带这两个，则是有15种方法。

例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角．由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°．所以有

m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6．

这个方程的正整数解，可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形。

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