连续满足的三个条件

其实这两种说法是等价的

条件：lim(x->x0)f(x)=f(x0) 是两种说法都有的其实这句话本身就意味着：

① f(x) 在 x0 处有极限；

② x0 处的极限与 x0 处的函数值相等；

另外,① 本身还意味着：

③ f(x) 在 x0 的去心邻域内有定义；

而 ② 本身也则意味着：

④ f(x) 在 x0 处有定义；

其实,既然 lim(x->x0)f(x)=f(x0) 这个等式都成立了,那么“存在性”和“有定义”就都是不言而喻的了你不要太纠结于这些条件的说法,而是要明白连续性的真正含义

当然,说法二也不是随便提出的因为,这 3 个条件是具有一定独立性的——虽然不是完全独立（条件三蕴含条件一、二）也就是说,它们可能有部分不成立,而导致函数不具有连续性比如满足条件一、不满足二；满足一、二,不满足三；……

所以,说法二提出这 3 个条件的真正意义在于：这 3 个条件恰好对应函数不连续的 3 种原因：

（1）x0 处无定义；

（2）x0 处无极限；

（3）x0 处,极限值不等于函数值；

1、连续性定义：若函数f(x)在x0有定义，且极限与函数值相等，则函数在x0连续

2、充分条件：若函数f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件），则函数在x0连续

3、必要条件：若函数f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数值，则在x0不连续

4、观察图像（这个不严谨，只适用直观判断）

5、记住一些基本初等函数的性质，大部分初等函数在定义域内都是连续的

6、连续函数的性质：连续函数的加减乘，复合函数等都是连续的

函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x)，即函数在此点函数值存在，并且等于此点的极限值

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的充要条件是此函数在此点必须连续，并且左导数等于右倒数。（我们老师曾经介绍过一个Weierstrass什么维尔斯特拉斯的推导出来的函数处处连续却处处不可导，有兴趣可以查一下）

可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。

函数可积只有充分条件为：①函数在区间上连续②在区间上不连续，但只存在有限个第一类间断点（跳跃间断点，可去间断点）上述条件实际上为黎曼可积条件，可以放宽，所以只是充分条件

可导必连续，连续不一定可导，即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件

一元函数中可导与可微等价，多元函数中可微必可导，可导不一定可微，即可微是可导的充分条件，可导是可微的必要条件

所以按条件强度可微≥可导≥连续

可积与可导可微连续无必然关系

以上就是关于连续满足的三个条件全部的内容，包括:连续满足的三个条件、如何判断一个函数是否连续、函数连续、可导、可微、可积的条件等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！