怎样求解布朗运动的期望和方差
布朗运动（Brownian motion）是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W（t）是期望为0方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W（t）-W（s）独立于的W（r），且是期望为0方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。
布朗运动是一种随机过程，描述的是微粒在液体或气体中的无规则运动。其中p(b(3)>0)表示布朗粒子在时间t=3时刻处于正半轴上方的概率。
由于布朗运动具有随机性质，因此要计算这个概率需要使用概率论和数理统计知识。根据布朗运动的特点，可以得到其位置变化服从高斯分布（也称为正态分布），即：
b(t) ~ N(0, t)
其中N(0,t)表示均值为0、方差为t的正态分布。
因此，在时间t=3时刻，b(3)也服从一个均值为0、方差为3的正态分布。而P(b(3)>0)就等价于求解标准正态分布Z~N(0,1)中Z>sqrt(3/2)=12258时对应的概率值。
根据标准正态分布表可知：P(Z>12258)= 1 - P(Z<=12258)= 1- 08897 = 01103
所以，P(b(3)>0)= P(Z > sqrt (3/2)) = 01103
因此，球这个问题已经被转化成了一个数学问题，并且可以通过计算得出答案。
随机过程不一定用正态分布、而用其他分布（例如：t分布）表示也可以。但布朗运动作为随机运动的一种，其特点是其运动方向不可测性。比如：在一个高效率的资本市场中，某只股票价格在明天是升还是降？这没人知道。正态分布恰好左右对称，不对其价格升降的概率作任何方向性判断。
此外（这个其实我也不太懂），正态分布描述起来比较方便，只要确定了均值mean和方差variance就完全确定了整个分布，既，正态分布不存在higher moments，不存在skewness和kurtosis以及更高阶的moment
最后，实践中很多变量的分布都会趋近于正态分布，这个好像是大数法则在起作用（这个我也不是很懂）。
布朗运动是分形的典型例子，理想状态下的布朗运动是高斯正态分布，当然更多的布朗运动研究细节我们不做探讨。任何事物都不是孤立的，都是相互作用、相互联系的。用还原论观点将系统一个个隔离是对事物的理想化，是在一定程度上精确定量描述系统，当然这也是认识事物必经的步骤，但是有缺陷的。
构成物质的大量分子、原子等所进行的不规则运动热运动越剧烈,物体的温度越高
分子热运动的试验是布朗运动
分子热运动的典型现象是分子扩散
布朗运动是通过花粉在水中的无规则运动的现象表现了水分子的无规则运动,即分子的热运动而不是花粉的热运动
典型现象就是日常生活中的啊,比如香味的扩散
组成气体的分子都十分好动比如你种的茉莉花,[1]一旦开了花,全家甚至邻居都可以闻到扑鼻香气；鱼、肉腐烂了,会弄得周围臭气熏天组成液体的分子也很好动你在一杯清水里滴入一滴墨水,墨水就会慢慢散开,和水完全混合这表明一种液体的分子进入到另一种液体里去了或者说液体分子在不停地运动固体分子,也不很安分守己比如把表面非常光滑洁净的铅板紧紧压在金板上面,几个月以后就可以发现,铅分子跑到了金板里,金分子也跑到了铅板里,有些地方甚至进入1毫米深处如放5年,金和铅就会连在一起,它们的分子互相进入大约1厘米又如长期存放煤的墙角和地面,有相当厚的一层都变成了黑色,就是煤分子进入的结果
证明液体、气体分子做杂乱无章运动的最著名的实验,是英国植物学家布朗发现的布朗运动
1827年,布朗把藤黄粉放入水中,然后取出一滴这种悬浮液放在显微镜下观察,他奇怪地发现,藤黄的小颗粒在水中像着了魔似的不停运动,而且每个颗粒的运动方向和速度大小都改变得很快,好像在跳一种乱七八糟的舞蹈就是把藤黄粉的悬浮液密闭起来,不管白天黑夜,夏天冬天,随时都可以看到布朗运动,无论观察多长时间,这种运动也不会停止在空气中同样可以观察到布朗运动,悬浮在空气里的微粒（如尘埃）,也在跳着一种杂乱无章的舞蹈
发生布朗运动的原因是组成液体或者气体的分子本性好动比如在常温常压下,空气分子的平均速度是500m/s,在1秒钟里,每个分子要和其他分子相撞500亿次好动又毫无规律的分子从四面八方撞击着悬浮的小颗粒,综合起来,有时这个方向大些,有时那个方向大些,结果小颗粒就被迫做起忽前忽后、时左时右的无规则运动来了
你倒一杯热水和一杯冷水,然后向每个杯里滴进一滴红墨水,热水杯里的红墨水要比冷水杯里的扩散得快些这说明温度高,分子运动的速度大,并且随着物体温度的增高而增大,因此分子的运动也做热运动热传导是固体中热传递的主要方式在气体或液体中,热传导过程往往和对流同时发生各种物质都能够传导热,但是不同物质的传热本领不同善于传热的物质叫做热的良导体,不善于传热的物质叫做热的不良导体各种金属都是热的良导体,其中最善于传热的是银,其次是铜和铝瓷、纸、木头、玻璃、皮革都是热的不良导体最不善于传热的是羊毛、羽毛、毛皮、棉花、石棉、软木和其他松软的物质液体中,除了水银以外,都不善于传热,气体比液体更不善于传热
对流靠液体或气体的流动来传热的方式叫做对流
对流是液体和气体中热传递的主要方式,气体的对流现象比液体更明显
利用对流加热或降温时,必须同时满足两个条件：一是物质可以流动,二是加热方式必须能促使物质流动
辐射热由物体沿直线向外射出,叫做辐射
用辐射方式传递热,不需要任何介质,因此,辐射可以在真空中进行
地球上得到太阳的热,就是太阳通过辐射的方式传来的
一般情况下,热传递的三种方式往往是同时进行的
用 表示一个布朗运动
在对连续时间定义好 filtration 后，鞅的概念是容易推广到连续时间上的：对 ，满足
由布朗运动的独立增量性，我们有： 因此布朗运动是一个连续时间的鞅。
值得注意的是连续时间鞅，它的轨道不一定连续（当然布朗运动是连续的）。可以证明，轨道连续的 连续时间鞅 ， 本质上一定是一个布朗运动 ，但是在任意时刻的方差可以变化。
连续时间的马尔可夫过程也是类似的。简单来说，就是给出 ， 的分布只与给定 的分布有关。
对一个布朗运动，时刻 之后发生的事情独立与时刻 之前发生的事情，这种性质叫做 强马尔可夫性 。
如果一个随机过程在任意有限个时间节点上组成的随机向量的有限维分布都是高斯分布，那么这个过程就叫做高斯过程。
给定 ，那么 就是一组独立的正态分布随机变量。从而 服从高斯分布。
高斯分布由均值向量和协方差矩阵唯一确定，对于标准布朗运动，我们有：
定义 ，显然 是一个停时，表示位置 的首达时刻。
是一个指数鞅。从而我们可以定义停止过程 ，它也是一个鞅。通过这个命题可以证明，布朗运动的首达时间几乎绝对有限，即
关于布朗运动比较全面的介绍，参考：
金融随机分析1——概率论和布朗运动
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