无界点就是没有定义的点吗

无界点就是定义的点。根据查询相关公开信息显示，无界点表示的数学意义是指如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点(也称无界间断点)，无界函数的反常积分又称为瑕积分，也就是广义积分积分限中使积分函数不存在的点。

先给出瑕点或奇点的概念，若 函数（或 ）时， ，则点 （或点 ）称为无界函数 的瑕点或奇点 的无穷间断点就是 的瑕点

定义63设函数 在 上连续，左端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分记作

（ 627 ）

这时我们说广义积分 存在或收敛如果 不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散

注： 表明 从大于0的方向趋于0，已经隐含了

类似地，设函数 在 上连续，右端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分记作

（ 628 ）

这时我们说广义积分 存在或收敛如果

不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散

还有，设函数 在 上连续，左端点 、右端点 均为 的瑕点，如果

及 均存在，其中 为 内的一个确定点，且 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作

如果及中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散

对于区间端点 、 均为 的瑕点的广义积分 有存在 和 均存在 和 都存在

其中 为 内的一个确定点，且 与

两者之间是独立变化的，

另外，设函数 在 上除一个内部点 外连续

，且内部点 为 的瑕点，如果 和 均存在，也即 和 都存在，其中 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作

（ 629 ）

如果及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散

对于内部点 为 的瑕点的广义积分 有

存在和 均存在和 都存在

广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及广义牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开，参见例5与例6在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无界点处原函数应取极限

为方便起见，引入记号

左端点为瑕点时，记 ，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为

右端点 为瑕点时， 记 ，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为

左端点 、右端点 均为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为

（ 为 内的一个确定点）

（ ）

( 这里 的值有时不必马上算出，可对抵掉 )

仅内部点 为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为

注意：由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点

反常积分又叫做广义积分。广义积分（反常积分）、瑕积分、常义积分之间由3点不同：

三者的定义不同：广义积分（反常积分）的定义：反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

瑕积分的定义：瑕积分是高等数学中微积分的一种，是被积函数带有瑕点的广义积分。

常义积分（指的是定积分）的定义：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

三者的特点不同：广义积分（反常积分）的特点：积分区间无穷。瑕积分的特点：函数在一点的值无穷，但面积可求。

常义积分（指的是定积分）的特点：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。

三者的性质不同：

广义积分（反常积分）的性质：对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。

瑕积分的性质：瑕积分又称为无界函数的反常积分。常义积分（指的是定积分）的性质：一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

瑕点主要看在定义域内，当X趋于某个值时，被积函数区域无穷大，则这个值就是瑕点。

找出f(x)定义域中的孤立没定义点，及定义域开区间的端点包括±∞。计算以上点及区间端点的单侧极限值，如果在x→那个单侧极限时，f(x)→∞或f(x)无界，则该点就是瑕点（所以瑕点都是单侧点，因此一个无定义的点，可能是两个瑕点，左瑕点和右瑕点）。

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显然不一定

没有定义可以补充定义，不改变积分的行为，但是补充定义之后不代表这个瑕点就去掉了。

比如说，闭区间[0,1]上的函数

f(x) = csc(x), 0<x<1

f(x) = 0, x=0

虽然x=0处有定义，但是f(x)在[0,1]上的积分仍然是瑕积分，因为f(x)是无界函数。

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