空间坐标系对称点法则如下:
在空间直角坐标系中,每点都有对称点。有关于面对称的,关于轴对称的及关于原点对称的等。如果我们要写对称点的坐标,则要看所对称的点、轴、面中不存在哪个轴(X轴、Y轴、Z轴),不存在轴上的对称点应与被对称点的值相等符号相反。
举例:
设点A(a,b,c),试确定A点关于坐标平面、坐标轴和坐标原点的对称点的坐标。
解:对于原点,X、Y、Z均不存在,根据谁不存在谁反号法则,X、Y、Z均反符号,A点关于原点的对称点B坐标为(-a,- b,- c)。
那么如果把函数向左平移a个单位,再向下平移b个单位的话,新函数将是奇函数。
y=f(x)
函数图象关于点(a,b)对称,则有:
f(a-x)+f(a+x)=2b
设函数f(X)关于点(a,b)对称的函数是g(x)
在函数g(x)的图像上任取一点(x,y)
设点(x,y)关于点(a,b)的对称点是(m,n),则点(m,n)在函数f(X)的图像上。
根据中点坐标公式知:x+m=2a,y+n=2b
所以m=2a-x,n=2b-y
因为点(m,n)在函数f(X)的图像上
所以n=f(m)
即有2b-y=f(2a-x)
Y=2b-f(2a-x),这就是所求的函数解析式。
几何含义
函数与不等式和方程存在联系(初等函数)。令函数值等于零,从几何角度看,对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标;从代数角度看,对应的自变量是方程的解。另外,把函数的表达式(无表达式的函数除外)中的“=”换成“<”或“>”,再把“Y”换成其它代数式,函数就变成了不等式,可以求自变量的范围。
对称点万能公式:y=kx+b。当直线为一般直线,即其一般形式可表示为y=kx+b。
设所求对称点A的坐标为(a,b)。根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。
因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。
要理解数学当中的原点对称就要首先明白直角坐标系(即X,Y坐标轴)中的X轴与Y轴的交点叫做原点。当坐标轴上有一点(X,Y)(此处X,Y取正值)其对称点为同坐标系中的(- X,- Y)这2个点就叫做原点对称,刚所指的点(X,Y)为第一象限的点(直角坐标系的右上),(- X,- Y)为第三象限的点(直角坐标系的左下)。
如果一个函数 f(x) 的定义域内的任何一个 x 和值域内的任何一个 y,都有 f(- x) = - f(x) ,且定义域也关于原点对称的话就说 f(x) 为奇函数(就是说这个函数 f(x) 的任何一个点(X,Y)都有对称点的话就称其为奇函数)。
直角坐标系上一点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)。
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