平行线的判定的平行公理

平行线的判定总共有六种：

1同位角相等,

两直线平行（平行线的判定公理）

2内错角相等,

两直线平行（平行线的判定定理）

3同旁内角互补,

两直线平行（平行线的判定定理）

4如果两条直线都与第三条直线平行，

那么这两条直线也互相平行（平行公理的推论，也叫平行的传递性）

5如果两条直线都与第三条直线垂直，

那么这两条直线也互相平行(平行线的判定公理的推论)

6平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线

平行线的性质；

1两直线平行，同位角相等。

2两直线平行，内错角相等。

3两直线平行，同旁内角互补。

4在同一平面内的两线平行并且不在一条直线上的直线。

在八年级教材中主要掌握的是前三条。

如果a‖b,a‖c,那么b‖c     假使b、c不平行 则b、c交于一点O     又因为a‖b,a‖c     所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾     所以假使不成立     所以b‖c     由同位角相等，两直线平行，可推出内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。     所以 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 （平行公理的推论）

证明：平行于同一直线的两直线平行

假使b、c不平行

则b、c交于一点O

又因为a‖b,a‖c

所以过O有b、c两条直线平行于a

这就与平行公理矛盾

所以假使不成立

所以b‖c

平行线的判定总共有六种：

1同位角相等,两直线平行（平行线的判定公理）

2内错角相等,两直线平行（平行线的判定定理）

3同旁内角互补,两直线平行（平行线的判定定理）

4如果两条直线都与第三条直线平行,

那么这两条直线也互相平行（平行公理的推论,也叫平行的传递性）

5如果两条直线都与第三条直线垂直,

那么这两条直线也互相平行(平行线的判定公理的推论)

6平行线的定义：在同一平面内,不相交的两条直线

平行线的性质；

1两直线平行,同位角相等

2两直线平行,内错角相等

3两直线平行,同旁内角互补

4在同一平面内的两线平行并且不在一条直线上的直线

在八年级教材中主要掌握的是前三条

“平行于同一条直线的两条直线平行”不是公理，而是平行公理的推论，是真命题。

平行公理：

希尔伯特的《几何基础》的五组公理之一：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。任何两点都是平行的，任何一点与任何一平面都是平行的。

欧几里得的定义：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。

平行公理推论的证明

证明：平行于同一直线的两直线平行。

假使b、c不平行

则b、c交于一点O

又因为a‖b,a‖c

所以过O有b、c两条直线平行于a

这就与平行公理矛盾

所以假使不成立

所以b‖c

由同位角相等，两直线平行，可推出：

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

所以a‖b,a‖c,

所以

b‖c

。

所以

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

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