微分方程的特解怎么求

二次非齐次微分方程的一般解法

一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)

第一步：求特征根

令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）

第二步：通解

1、若r1≠r2，则y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)e^(r1x)

3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)

第三步：特解

f(x)的形式是e^(λx)P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）

则y=x^kQ(x)e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)

1、若λ不是特征根 k=0 y=Q(x)e^（λx）

2、若λ是单根 k=1 y=xQ(x)e^（λx）

3、若λ是二重根 k=2 y=x²Q(x)e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)P(x)cosβx或e^(λx)P(x)sinβx

1、若α+βi不是特征根，y=e^λxQ(x)(Acosβx+Bsinβx)

2、若α+βi是特征根，y=e^λxxQ(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）

第四步：解特解系数

把特解的y'',y',y都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。

最后结果就是y=通解+特解。

通解的系数C1，C2是任意常数。

：

微分方程

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。

高数常用微分表

唯一性

存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：dy/dx=sin x，其解为： y=-cos x+C，其中C是待定常数；

如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

扩展资料：

以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。

一阶微分方程

如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解

若式子可变形为y'=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解

若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分求解

二阶微分方程

y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。

1 若实根r1不等于r2 y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)

2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)e^(r1x)

3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

1、由于P=x2+y，Q=x-2y满足Qx=Py，因此是一个全微分方程

∴存在函数u（x，y），使得du=（x2+y）dx+（x-2y）dy

∴u(x，y)＝∫ [(0，0),(x，y)] (x2+y)dx+(x−2y)dy

=∫ [0,x]x2dx+∫[0,y](x−2y)dy

=1/3x^3+xy−y^2

而du=0，因此u（x，y）=C，故

x3 /3+xy−y^2＝C

2、第二个问题如下：

扩展资料

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量

Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

可以表示为

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即

dz=AΔx +BΔy

该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

参考资料来源：百度百科-全微分

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