完全数有哪些

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本

6,28,496,8128,33550336这些都是完全数

6＝1+2+3

28＝1+2+3+4+5+6+7

496＝1+2+3+……+30+31

8128＝1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

33550336＝1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3

1、到底有多少完全数？

寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了47个完全数。

2、有没有奇完全数？

奇怪的是，已发现的47个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？如果存在，它必须大于10^300。 至今无人能回答这些问题。 尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。

不是

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：自然数概念它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28。后面的数是496、8128等

2019不是完美数。

完美数所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。第一个完美数是6，第二个完美数是28，第三个完美数是496，后面的完美数还有8128、33550336等等。截至2018年，相关研究者已经找到51个完全数。

研究历史

公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完美数的人，他已经知道6和28是完美数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”

有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完美数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。

完美数

●稀少而有趣的完美数

已知自然数a和b，如果b能够整除a，就说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。

例如6，12，14这三个数的所有真因数：

6 ：1，2，3； 1+2+3=6 6 = 6

12：1，2，3，4，6；1+2+3+4+6=16 16>12

14：1，2，7； 1+2+7=10 10<14

像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数（不足数）；大于真因数之和的（如14）叫做盈数或过剩数；恰好相等的（如6）叫做完全数，也称为完美数。

古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年,尼可马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》，其中写道：“也许是这样：正如美的、卓越的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；所以盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完美数则易于计数，而且又顺理成章……，它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。”

现在数学家已发现，完全数非常稀少，至今人们只发现29个，而且都是偶完美数。前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。

经过不少科学家的研究，现在已经发现，假如数(2^n-1)是素数，那么数( 2^(n-1)×(2^(n-1)) )就一定是完全数，其中的n也同样是素数。为此，数学家就用英文prime（素数）的第一个字母p代替n，还把形如 (2^p -1)的素数叫“默森尼数”。但是对于下面两个问题：“偶完全数的个数是不是有限的？”“有没有奇完全数？”数学家到现在还没有解决。

完美数有许多有趣的性质，例如：

1它们都能写成连续自然数之和：

6=1＋2＋3

28=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7

8128=1＋2＋3＋4……＋127

2它们的全部因数的倒数之和都是2。

1/1+1/2+1/3+1/6=2 ,

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 ,

1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

●锃亮的更新：目前共发现45个完美数。

不含质数(2^p-1)的真因子,即2^(p-1)的真因子有p-1个（包括1）

并且成等比数列,和S=(1-2^(p-1))/(1-2)=2^(p-1)-1

对应的,含质数(2^p-1)的真因子也有p-1个,即上面的所有真因子×(2^p-1)

显然,其和=S(2^p-1)

所以(2^p-1)X2^(p-1)的所有真因子和＝S+S(2^p-1)＝(2^p-1)×2^(p-1)＝本身

所以(2^p-1)X2^(p-1)是一个完全数

得证

完美数是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

例如：

第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6。

第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28。

例如：

6＝1+2+3

28＝1+2+4+7+14

其实有这么一种数就叫做“完美数”, Perfect number

这种数所有的除了自身以外的约数的和恰好是它本身，比如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14。

完美数十分稀少，下一个是496，接下来是8128，再下一个是33550336，增长速度很快。至今为止，人们只发现48个完美数。List of perfect numbers

围绕完美数有好多猜想，大多数都是未解的。最著名的有两个：

1，完美数是否有无穷多个？2，是否有奇完美数？

虽然奇完美数已经被证明“不大可能存在”，但是想到还有着这么一丝可能性存在奇完美数这种“超越完美的数字”，我内心就一阵激动。如果她真的存在，于我来说，就是最完美的数字了。虽然这一定是个天文数字，至少大于10的1500次方

来源：知乎

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