等价类的几何说明

等价类的几何说明：等价类的划分首先要研究程序的设计说明，确定输入数据的有效等价类与无效等价类。等价类的确定没有一成不变的定理，主要依靠的是经验。

等价类的几何说明：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。A的关于R的等价类记作 。当只考虑一个关系时，我们省去下标R并把这个等价类写作[a]。

等价类的几何说明等价类划分及标准如下：

划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试。

因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。

1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。

2）无效等价类指对程序的规格说明是不合理的或无意义的输入数据所构成的集合。对于具体的问题，无效等价类至少应有一个，也可能多个。

等价类划分测试的办法是把程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每个部分中选取少数代表性数据作为测试用例。每一类的代表性数据在测试中的作用等价于这一类中的其他值。该方法是一种重要的，常用的黑盒测试用例设计方法。

扩展资料：

划分等价类的原则：

1、在输入条件规定了取值范围或值的个数的情况下，则可以确立一个有效等价类和两个无效等价类。

2、在输入条件规定了输入值的集合或者规定了“必须如何”的条件的情况下，可确立一个有效等价类和一个无效等价类。

3、在输入条件是一个布尔量的情况下，可确定一个有效等价类和一个无效等价类。

4、在规定了输入数据的一组值（假定n个），并且程序要对每一个输入值分别处理的情况下，可确立n个有效等价类和一个无效等价类。

5、在规定了输入数据必须遵守的规则的情况下，可确立一个有效等价类（符合规则）和若干个无效等价类（从不同角度违反规则）。

6、在确知已划分的等价类中各元素在程序处理中的方式不同的情况下，则应再将该等价类进一步的划分为更小的等价类。

集合或类(以集合为例)上的等价关系R指一个具有自反, 对称, 传递性的二元关系, 在一个定义了等价关系的集合中可以按该等价关系分成等价类(即两个元素只要有xRy, 则它们属于同一等价类), 即集合的一些子集组成的集, 容易证明这些子集两两不交且其并等于原集合 一个应用: 在全体集合的真类V上定义一等价关系R, 若两个集合x, y间存在一一映射, 则xRy 按该等价关系分成等价类, 再用类上的选择公理从每个等价类中取出一个代表元素 即基于AC的集合的势的定义

泛函分析 初步总结

先是看了《数学--它的内容、方法与意义》的泛函分析部分，做了一个小科普，大致知道内积怎么搞出来的了，说实话，这只是一个皮毛。。只是有一个感觉而已罢了。。

然后看《实变函数与泛函分析--郭懋正》这本书的下半部分，全书确实非常非常精炼，但看起来还是比较吃力，省略的内容有点多，看不太懂，靠着烂笔头和mathpix在电脑上进行一步步的推导，吭哧吭哧地学习，到了后面发现自己越来越肝不动了，看不懂的越来越多，也不知道这门学科要去解决什么问题，非常被动。

看也看不进去，特别是许多概念不知到定义了干嘛，闭集、开集、列紧集、自列紧集、完全有界集、可分、完备等等概念，这和看得见模型的数学分析和高等代数、实变函数完全不是一个东西。抽象的东西很多，还不知道要干嘛，于是被动了呗。这也让我慢慢地开始探索一套切实可行的学习一门新的数学课程的科学方法是什么样子的，对我而言，数学绝对不能是一门十分费解的科学

于是我掉过头来，去梳理了一下基本的概念，以及他们之间的关系：也就是内积空间、赋范空间、距离空间三者之间的关系的问题。这只是初步解决了非极限运算的问题，那些可分、完备等极限的概念还是不知道怎么回事

后来找了一本Rudin的泛函分析，对不起打扰了，我骨骼一点都不惊奇。

然后开始查阅大量的知乎博主的问答、文章，结果都是，大佬云集，讲的东西我几乎都看不懂，很多没有接触过的东西需要我不断地去学习挖掘。数学这个东西要多深有多深。。。

然后灵光一现，找到了 @丑小丫 的一个关于初学者如何学习泛函分析的攻略，顺着找到了B站内蒙古大学---孙炯教授的泛函分析课，豁然开朗。一看有54个小时，第六七章，线性算子的谱理论，我显然不会。因为我还没有学习高等代数的谱分解，理解起来有些困难。看来以后还要花时间继续打基本功，把丘维声和复旦的高代再细细地带有研究性质地过一遍，除了陈纪修的数分，再看卓里奇，数学分析新讲等等内容都是很有益处的。这对我来说将会是非常有帮助的。在应试教育下，囫囵吞枣地填鸭式学习，真是害死人。

之后就是开始从头开始刷课、做笔记了。这个视频课，从头到尾告诉了我一些好的学习方法，比如说，学习一门课，一些东西不知道为什么是这样子的，一个基本的要求就是，知道“它是什么”，这个标准一点都不难，只看我们愿不愿意动手写一写画一画了。其次，从全局去把握一门课是非常重要的，有很多书，连个绪论，或者是简要地介绍都没有，对初学者很不友好。最后，搜集到相当多的学习资料，是非常有必要的，可以对比着看，在自己学习接受程度的特殊情况下，选择一本书精读，其他的书配合着来是非常非常有必要的。

先梳理几个线索：

1，三大空间的关系及其转化；

2，Hilbert空间从有限维到无穷维；

3，空间与极限概念的理解；

4，线性算子的性质与几个重要的大定理的理解；

5，三个收敛问题：强收敛、弱收敛、一致收敛。

绪论

1，类似于笛卡尔坐标系的建立，泛函分析也建立了一套空间体系，把分析中遇到的问题，结合几何代数的方法加以解决，这就涉及到了有限维到无穷维的区别与联系了，涉及到的是收敛性的问题

2，坐标分解、算子分解

笛卡尔坐标系可以进行元素的坐标分解，矩阵也可以分解成n个特征值乘上其特征向量的组合，来表示这个矩阵算子，泛函分析中是否可以如此操作呢？

3，无穷维空间的类比与联想

无穷维空间中的坐标系？正交概念？正交系？元素进行分解？算子能否进行分解？无穷项相加的收敛性问题？这是按照什么意义下的收敛？傅里叶级数是点点收敛的，我们新搞出来的东西会是按照什么收敛的呢？

4，谱理论

广义的算子是否也可以进行谱分解，研究其性质呢？

距离空间

不理解的东西： 不可分；列紧空间中成立最值定理；附录1

Def（距离空间）：二元映射d(x,y)具有非负性、对称性、三角不等式；（X，d）；

如  ， ,  ,  ,  , 

Def(按照距离收敛):Xn→X，即，d(Xn,X)→0（n→∞）；d(x,y)是关于x,y的二元连续函数

Th(同一个点列，按照不同的距离，在距离空间的性收敛会有很大不同):会出现一致收敛的情形，而  不能满足一致收敛；而连完备性都做不到。

Def(等价距离)：  ,三个距离收敛性相同

Def(开球、闭球、球面、有界集、内点、开集、闭集、聚点、接触点、闭包、正距离)：

开球： 

闭球： 

球面： 

有界集：集合限制到一个球中

内点：以该点的小球含于集合中

开集：所有点都是内点；开集的并还是开；有限个交还是开

闭集：所有的极限点都在集合中；闭集的交还是闭；有限个并还是闭

聚点：极限点

正距离： 

接触点：  的点

闭包：所有的接触点

Def(拓扑空间)：一个集合中规定了元素之间的关系

Th(闭集的性质):A是闭集  对极限运算封闭

Def(连续映射)：  ;

连续映射  开集的原像是开集；连续映射的复合还是连续映射；

连续映射可以和极限运算交换顺序：  。

Def（等距映射）：d(x,y)=d(Tx,Ty);

Def(稠密)：定义1：  ，则说明B在A中稠密；定义2：A中的点可以用B中的点来逼近；

Def(可分)：空间存在可数稠密子集。Rn可分；C[a,b]可分；  不可分；s可分；

Def（空间s，空间S）：s为全体实数列组成的集合，S为E上几乎处处可测的函数列；

分别定义：  和 

Def(紧性、列紧、自列紧、Borel紧、完全有界)：

列紧：无穷点列有收敛子列；列紧则有界

自列紧：无穷点列有收敛子列，且极限在空间中；自列紧则有界闭

Th（无穷维空间中，有界闭不一定能推导出列紧）：不仅仅要距离控制住，还要把维度控制住

Th（列紧空间中成立最值定理）： 

Th(Arzela定理)：C[a,b]的子集A列紧  A中函数一致有界和等度连续

Def（等度连续）：对任意的n，fn(x)在区间I上一致连续

Def(柯西列，完备)：

柯西列：  柯西列有界；收敛列是柯西列

完备：柯西列收敛到空间中完备空间极限运算可以进行

Th(完备的闭子空间是完备的；列紧空间是完备的)

Rn完备；  完备；  不完备；  不完备；  不完备

在证明列紧空间是完备空间的时候，根据空间的列紧性，我们可以从一个柯西列中找到一个子列收敛，再结合它本身是柯西列，证明这个柯西列收敛。

Th(空间完备化)：任何一个度量空间都可以完备化，完备化空间与原空间等距，且在等距意义下唯一

新的空间的构造过程中选取的是柯西列作为空间的元素

Th(完备空间成立闭球套定理)

闭球套定理类似于数学分析中的区间套定理

Th(完备空间成立Banach不动点原理)

Th(Brouwer不动点定理)：闭单位球上的连续映射存在不动点

Th(Schauder不动点定理)：完备空间的闭凸子集上的连续、列紧映射存在不动点；

Def(一般微分方程、Fredholm积分方程、Volterra积分方程)

 ；

 ；

 压缩映射原理可以应用于这三个方程中

线性赋范空间

不懂的点：Th(子空间是开集，则子空间等于全空间)真子空间不能是开集

Def(线性赋范空间，转化公式)：

 非负性、正定性、正齐次、三角不等式；

 ；但不是所有的距离空间都可以转化为赋范线性空间

Def(按范数收敛)：Xn→X，即||Xn-X||→0||·||具有连续性

 和  完备，可分；但  和  不完备，可以推出

 和  不完备；

由于距离空间可以完备化，按照转化公式的赋范线性空间也可以完备化

Def(Lp空间)：  ； 

Lp是完备、可分的，  是不完备的，Lp是它的完备化空间

Lp空间中的可数稠密子集可以找全体阶梯函数，也可以找全体有理系数多项式

Def(共轭数、Holder不等式、Minkowski不等式)：

 ；  ；



Def（  空间，本性确界）  不可分； 

本性确界的理解：最小的本性上界，而本性上界指的是ae有界。

 [1≤p2＜p1＜∞]

Def(  空间)：  [可分完备]

Def（  空间）:  不可分完备

Def(凸集、最小凸集)

凸集：  凸集的交还是凸集子空间是凸集

最小凸集：所有凸集的交集

Th(赋范线性空间的单位球是凸集)

为什么要引入凸集的概念？凸集可以抽象地描述赋范线性空间的某种内敛的性质，那就是单位球是0点的一个凸领域！！！补充一个例子，利于理解。 例 233 设  是由有序实数组  组成的空间, 在  上定义  则曲线  围成的区域不是凸集 如图

Th(如果子空间是开集，那么子空间等于全空间)真子空间不能是开集

如何理解这个定理呢？？这说明了开集加上线性性，就会具有一个“吸收的性质“

Th(线性子空间的闭包是一个闭子空间)范数对线性运算连续

Th(完备的子空间是闭的；完备空间闭子空间是完备的)

用 来表示收敛数列全体，则c是B空间  的闭子空间，从而c是B空间

Th(Riesz引理)疑问： 一定存在一个X中的点，它和M存在正距离？

 

如何理解Riesz引理呢？对于任意的一个点，我们都可以在单位闭球面上找到一个对应点，使两者的距离差大于 

Def(等价范数)  此时  和  收敛性一样，拓扑同胚

Th(等价范数定理：有限维空间与  同构，拓扑同胚，从而有限维空间是闭的是完备的，是可分的)

证明思路是直接选取一个基，构建  同构关系，然后呢，证明原来的范数和  上面的范数等价即可

Th(有限维  任意有界闭集是列紧的)反之可以通过Riesz引理生成 

Th(无穷维，则单位球、单位面都不是列紧的)此称之为不仅要把距离控制住，还要把维度控制住

有界集能不能列紧是有限维和无穷维的重要区别

举出一个形象的例子，来区别有限维和无限维。在一个有限空间的盒子里装入无穷个小球，那么至少会有一个地方聚集了无穷个小球，这不需要怀疑；然而一个新的有限空间的盒子出现了，这个盒子虽然距离意义上是有限也叫有界，但是维度是无限的，那么这些小球可能隐藏到各个维度之中去了，但是他们在距离意义上并不收敛。比如无穷维空间 

Th(  完备  范数级数收敛可以推出元素级数收敛，也就是 收敛   收敛)

为Hilbert空间理论的建立进行准备，因为在Hilbert空间中不是有广义的Fourier展开么，我们要去衡量收敛

Def(二元关系、商空间)

二元关系：自身性、对称性、传递性

商空间：等价类的全体，并定义：  ，  记为 

商空间可以看做是全空间中把子空间M所具备的性质忽略不计（把M看做零元素）得到的空间

Th(完备空间关于闭子空间的商空间是完备空间)

Th(乘积空间完备等价于每一个空间完备)

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