三角形的四心

外心、内心、垂心、重心

当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

⒈外心

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)

性质

①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

④OA=OB=OC=R

⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

⑥S△ABC=abc/4R

2内心

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)

性质

①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

③r=2S/(a+b+c)

④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2

⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2

⑥S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

3垂心

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

性质

①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

⑥△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

⑦在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

⑧三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍

⑨设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

⑩锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

⑪锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）

⑫西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上

⑬设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PBPCBC+PBPAAB+PAPCAC=ABBCCA。

⑭设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。

⑮三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

4重心

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

另外，三角形还有旁心，但并不常用，且旁心不与其他四心重合

重心,外心,内心,垂心

重心是中线交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍

内心是角平分线交点(或内切圆的圆心) ,它到三角形三边的距离相等

外心是中垂线交点(或外接圆的圆心) ,它到三角形三个顶点的距离相等

垂心是三角形三边上的高的交点

这称三角形的四心

三角形的重心是中线的交点，垂心是高的交点，外心是外接圆的中心，内心是内切圆的中心，这些应该是公理没有证明的。

在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，总会衍生出一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力。这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

三角形四心的向量计算：

平面向量是历年高考必考的热点与重点，一般为中档偏易的选择题或填空题，命题突出考查向量的基本运算与工具性，并渗透对数学运算和数学建模等核心素养的考查。

在解答题中常和三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系等问题相结合，主要以已知条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等。

任意三角形的垂心，重心，外心三点都共线;三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

欧拉线的证明(请看“参考资料”的图)

作△ABC的外接圆(圆心为O,垂心为H)，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’

∵

BD是直径

;

∴

∠BAD、∠BCD是直角

;

∴

AD⊥AB，DC⊥BC

∵

CH⊥AB，AH⊥BC

;

∴

DA‖CH，DC‖AH

;

∴

四边形ADCH是平行四边形

∴

AH=DC

∵

M是BC的中点，O是BD的中点

;

∴

OM=

DC

;

∴

OM=

AH

∵

OM‖AH

;

∴

△OMG’

∽△HAG’

;∴

G’是△ABC的重心

∴

G与G’重合

;

∴

O、G、H三点在同一条直线上

假设CH为∠ACB的角平分线,则等腰ΔBOC≌等腰ΔAOC

∴CB=CA

∴四心共线（内、外、垂、重心)的三角形为等腰三角形

参考资料：

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