紧急求助：三角形中线公式是怎么证明出来

若ad是△abc的中线，则有：ad＝（1/2）√（2ab^2＋2ac^2－bc^2）。

利用勾股定理推导。

过a作ae⊥bc，垂足为e。

一、当d、e重合时，则有：ab＝ac、bd＝bc/2。

由勾股定理，有：ad^2＝ab^2－bd^2＝ab^2－bc^2/4＝（1/4）（4ab^2－bc^2），

∴ad＝（1/2）√（4ab^2－bc^2）＝（1/2）√（2ab^2＋2ac^2－bc^2）。

二、当e在线段cd上时，

由勾股定理，有：ae^2＝ab^2－be^2、ae^2＝ac^2－ce^2，

∴2ae^2＝ab^2＋ac^2－be^2－ce^2＝ab^2＋ac^2－（bd＋de）^2－（cd－de）^2，

∴2ae^2＝ab^2＋ac^2－bd^2－2bd×de－de^2－cd^2＋2cd×de－de^2，

而bd＝cd＝bc/2，

∴2ae^2＝ab^2＋ac^2－2（bc/2）^2－2de^2＝ab^2＋ac^2－bc^2/2－2de^2。

再由勾股定理，有：ae^2＝ad^2－de^2，代入上式中，得：

2ad^2－2de^2＝ab^2＋ac^2－bc^2/2－2de^2，

∴4ad^2＝2ab^2＋2ac^2－bc^2，

∴ad＝（1/2）√（ab^2＋ac^2－bc^2）。

三、考虑到对称性，当e在线段bd上时，公式也是的。

四、当e在bc的延长线时，

（因时间关系，这留给你尝试着证明它，若有困难，则请你追加说明，本人在你需要时将继续给你写出证明过程。希望不需要啊！）

五、考虑到对称性，若能证得e在bc的延长线时公式成立，则e在cb的延长线时也是成立的。

综上所述，无论是什么三角形，公式都成立。

结论最后应该是“加上3个DE的平方”。

设BC中点为M,在△ADE,△MDE中应用余弦定理，得

AD^2=AE^2+DE^2-2AEDEcos∠AED,

MD^2=ME^2+DE^2-2MEDEcos∠MED,

因为AE=2ME,cos∠AED=-cos∠MED,所以

AD^2+2MD^2=AE^2+2ME^2+3DE^2()

DM,EM分别是△DBC,△EBC的中线，

2DM^2=DB^2+DC^2-BC^2/2,

2EM^2=EB^2+EC^2-BC^2/2,

代入()式，即得

DA^2+DB^2+DC^2=EA^2+EB^2+EC^2+3DE^2

用解析几何的方法也不难证明。还可以用物理中转动惯量的有关定理证明。

AE=2ME,重心把中线分成2:1的两段。

cos∠AED=-cos∠MED，因为∠AED+∠MED=180°。

“DM,EM分别是△DBC,△EBC的中线，

2DM^2=DB^2+DC^2-BC^2/2, ”

这个一般叫中线长公式，该学过吧。

解：设已知直角三角形一条直角边AC边长为b，这条边所对的角度为t，利用三角函数即可求得其他两边的长度：

（1）另一条直角边AB的长度c=b/tant；

（2）斜边CB的长度a=b/sint。

扩展资料：

直角三角形基本性质：

1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（勾股定理)。

2、在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°。

3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD)²=BD·DC。

（2）（AB)²=BD·BC。

（3）（AC)²=CD·BC。

6、射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

参考资料：

百度百科-直角三角形

1三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分

2三角形的三条中线交与一点，这一点叫三角形的重心。即平衡点

3重心可将每一条中线分为二比一

即重心到顶点的距离与重心到相应中点的距离的比为二比一

4三条中线可将三角形分成面积相等的六部分

不知对你有没有帮助？

想要了解三角形中位线定理的小伙伴，赶紧来看看吧！下面由我为你精心准备了“三角形的中位线定理及判定方法”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！

三角形的中位线定理

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理是，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

三角形的中位线的判定方法

1、过三角形的两边中点的线段，是三角形的中位线。

2、过三角形的一边中点且平行于另一边的线段，是三角形的中位线。

3、平行且等于三角形一边长度的一半的线段，是三角形的中位线。

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

拓展阅读：三角形的面积公式

1已知三角形底a，高h，则等腰三角形的面积为S=ah/2。

2已知三角形三边a，b，c，则S=√p（p-a）（p-b）（p-c）[p=（a+b+c）/2]。

3已知三角形两边a，b，这两边夹角C，则S=（absinC）/2。

4设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积S=[（a+b+c）r]/2。

5设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积S=abc/4R。

6海伦——秦九韶三角形中线面积公式：

S=√[（Ma+Mb+Mc）（Mb+Mc-Ma）（Mc+Ma-Mb）（Ma+Mb-Mc）]/3其中Ma，Mb，Mc为三角形的中线长。

7已知三角形的三条边为a，b，c，三角形的角为A，B，C，则三角形面积为S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

三角形的基本定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。

直角梯形中位线定理如下：

梯形的中位线定理是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 ，梯形（trapezoid）是只有一组对边平行的四边形。

等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线（过两底中点的直线）。等腰梯形在同一底上的两个底角相等。有一个内角是直角的梯形是直角梯形。一腰垂直于底的梯形是直角梯形。

直角梯形是指有一个角是直角的梯形，属于四边形。

面积公式：

梯形是有且仅有一组对边平行的凸四边形。梯形平行的两条边为“底边”，分别称为“上底”和“下底”，其间的距离为“高”，不平行的两条边为“腰”。下底与腰的夹角为“底角”，上底与腰的夹角为“顶角”。

注意：广义中，平行四边形是梯形，因为它有一对边平行。狭义中，平行四边形并不是梯形，因为它有二对边平行。

S=（上底+下底）×高÷2。

梯形是上下两条边平行的四边形状，你按照一个对角线可以把它分成两个高相同的三角形，三角形面积公式是“底乘以高除以2”，所以梯形就是：“上底乘以高除以2”+“下底乘以高除以2”=“上底加下底乘以高除以2”。

另一个公式：“中位线×高”，其中“中位线”是（上底+下底）除以2。

等腰三角形三线合一，等边三角形是等腰三角形，所以等边三角形边上的中线垂直于这边，且平分这边的对角。

等边三角形的性质：

1、等边三角形的内角都相等，且为60度

2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）

3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

扩展资料：

等边三角形的判定方法：

1、三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

2、三个内角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。

4、两个内角为60度的三角形是等边三角形。

参考资料来源：百度百科—等边三角形

无法具体的知道三角形第三边的长度，只能知道范围

①两边之和大于第三边

②两边之差小于第三边

如果知道了三角形的周长 那就 周长-两边之和=第三边

如果知道两边和其夹角,就可以有：cc = aa + bb - 2abcosC （设a,b 已知）余弦定理

如果是已知直角三角形的 两直角边,第三边即斜边 cc=aa+bb （设a,b 已知）勾股定理

扩展资料

与三角形有关的定理和公式

1，三角形中线定理

任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

2，正弦定理

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有：

一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。

3，余弦定理

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A（），B（），C（），则如下图所示，在△ABC中，

余弦定理表达式

同理，也可描述为：

参考资料

百度百科——余弦定理

百度百科——正弦定理

百度百科——三角形中线定理

以上就是关于紧急求助：三角形中线公式是怎么证明出来全部的内容，包括:紧急求助：三角形中线公式是怎么证明出来、中线长定理的证明、直角三角形斜边中线公式是什么等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！