时间随机序列的描述

随机序列与连续随机信号一样，可以用概率分布函数和概率密度及数字特征进行描述。

1221 概率分布函数

对于随机变量Xn，一维概率分布函数用下式表示

地球物理信息处理基础

对于二维概率分布函数表示为

地球物理信息处理基础

1222 概率密度

如果随机变量Xn取连续值，那么一维概率密度函数为

地球物理信息处理基础

二维概率密度函数为

地球物理信息处理基础

概率密度或概率分布函数对随机序列进行完整的描述，但在实际中往往无法得到它。为此，需要引入随机序列的数字特征来描述，而这些数字特征在实际中比较容易进行测量和计算。一般只要获得这些数字特征就能满足要求。常用的数字特征有数学期望、方差和相关函数。

方法和详细的操作步骤如下：

1、第一步，在计算机桌面上，双击MATLAB桌面图标以进入MATLAB工作界面，见下图，转到下面的步骤。

2、第二步，  执行完上面的操作之后，dec2bin（）：从十进制转换为二进制，调用格式：b = dec2bin（a）。 其中b是二进制，a是十进制，见下图，转到下面的步骤。

3、第三步，执行完上面的操作之后，bin2dec（）：此函数实现从二进制到十进制的转换，调用格式为：a = bin2dec（b）， 其中b是二进制，a是十进制，参数b的数据类型是字符类型，见下图，转到下面的步骤。

4、第四步，执行完上面的操作之后，当使用上述函数时，只能实现非负整数和第二个十六进制数之间的转换。

 如果使用负整数，将发生错误，见下图。这样，就解决了这个问题了。

虽然随机信号是一种不确定性信号，其信号波形的变化不能用确切的数学公式来描述，不能准确地预测其未来值，但这些信号具有两个基本特点：第一，在所定义的观察区间是以时间t作为参变量的随机函数；第二，其随机性表现在信号的取值事前不可精确地预知，在重复观察时又不是或不能肯定是重复的出现。例如，图1-1表示用N台记录仪同时记录N台性能完全相同的接收机的输出噪声电压波形。显然，它们随时间的变化都是没有规律的，即使接收机的类型是相同的，而且测试条件也是相同的，其输出波形还是不相同。甚至N足够大，也不可能找到两个完全相同的重复波形。由此可见，随机信号所发生的物理过程是一个随机过程，它是一个时间函数集，通常认为是具有无限长度和无限能量的功率信号。

图1-1 N台接收机输出噪声电压的随机信号样本集合

当我们在相同的条件下独立地进行多次观察时，各次观察到的结果彼此互不相同。既然如此，为了全面地了解输出噪声的特征，从概念上讲，我们应该在相同的条件下，独立地做尽可能多次的观察，这如同在同一时刻，对尽可能多的性能完全相同的接收机各做一次观察一样，如图1-1所示。全部可能观察到的波形记录称为“样本空间”或“集合”，用S表示，样本空间的每一个波形记录称为“样本函数”或“实现”。所有样本函数的集合就构成了噪声波形可能经历的整个过程，该集合就是一个随机过程，也即随机信号。

我们用X（t，S）表示随机过程中所有可能的噪声波形集合，用x（t，s）表示该集合中的单个波形（注：一般情况下，随机过程或随机信号用大写斜体字母符号表示，如X，Y等，其一次实现用小写斜体字母符号表示，如xj（t））。为了方便，常用X（t）表示随机过程或随机信号，x（t）表示随机信号中的一个样本函数或实现。每一个样本x1（t），x2（t），…，xj（t）…，xN（t）都是通过观测记录下来的，所以每一个具体波形都可以用一个确定函数来表示，称为j条样本曲线。

对一个特定的时刻t=t1，显然x1（t1），x2（t1），…，xN（t1）是一个随机变量，它相当于在某一固定的时刻同时测量无限多个相同接收器的输出值。当t=ti时，x1（ti），x2（ti），…，xN（ti）也是一个随机变量。因此，一个随机信号X（t）是依赖于时间t的随机变量。这样，我们可以用描述随机变量的方法来描述随机信号。

如果对随机信号X（t）进行等间隔T采样，即将X（t）进行时间域离散化，得离散随机序列X（t1），X（t2），X（t3），…，X（tn），…所构成的集合称为离散时间随机信号 X（nT）。对X（nT）的每一次实现是xj（n），j=1，2，…，N，N→∞。用序号n取代tn，随机序列用X（n）表示。图1-2 就是图1-1 随机信号经过时间离散化形成的随机序列，相应的样本函数x1（n），x2（n），…，xN（n）为样本序列，它们是n的确定性函数。样本序列也可以用xn表示，而X（t1），X（t2），X（t3），…，X（tn），…或者X（1），X（2），X（3），…，X（n），…则都表示随机变量，有时也用Xn表示。所以，随机序列兼有随机变量和函数的特点。此外，为了今后讨论方便，我们有时也用xn表示随机序列x（n）。

图1-2 N台接收机输出噪声电压的离散随机信号样本集合

难。随机序列插值是比较常见的数据操作，几率非常小，通过排列组合有多少数字，那随机就是几分之一，随机序列插值指的是由随机变量组成的数列，它在概率论和统计学中都十分重要，整个概念主要构建在由随机变量组成的数列的基础之上。

应该先从以下几点：

1、特点

序列的统计特性不随时间的平移而变化

2、模型

自回归移动平均模型（ Auto Regressive Moving Average Model）简称 ARMA 模型（1）一般自回归模型 AR( n )

Xt仅与前n个时刻有关（类似于马尔可夫）

Xt = ϕ1 Xt−1 +ϕ2 Xt−2 +L +ϕn Xt−n + at

at 独立于Xt−1 , Xt−2 ,L , Xt−n 的白噪声序列， at ~ N(0,σa)。

(2)移动平均模型 MA(m)

一个系统在 t 时刻的响应Xt ，与其以前时刻 t-1, t-2,……的响应 Xt−1 , Xt−2……无关，而与其以前时刻t −1, t − 2,…… ,t − m 进入系统的扰动 at−1 , at−2 ，……, at−m 存在着一定的相关关系，那么，这一类系统为 MA(m) 系统。

Xt = at −θ1at−1 −θ2at−2 −…… −θmat−m

（ 3）自回归移动平均模型

一个系统，如果它在时刻 t 的响应Xt ，不仅与其以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统。ARMA(n, m) 模型为:   前n个时刻的序列，前m个时刻的扰动

Xt −ϕ1 Xt−1 −L −ϕn Xt−n = at −θ1at−1 −L −θmat−m

对于平稳系统来说，由于AR、MA、ARMA(n, m)模型都是 ARMA(n, n −1) 模型的特例，我们以ARMA(n, n-1）模型为一般形式来建立时序模型。

1231 数学期望

随机序列的数学期望，或称为统计平均，即通常所说的均值，定义为

地球物理信息处理基础

式中E［·］表示求均值运算。数学期望是n的函数，如果随机序列是平稳的，则数学期望是常数，与n无关。

1232 均方值

随机序列的均方值定义为

地球物理信息处理基础

1233 方差

随机序列的方差定义为

地球物理信息处理基础

可以证明均方值与方差有如下的关系

地球物理信息处理基础

一般均方值和方差都是n的函数，但对于平稳随机序列，它们与n无关，为常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，其均方值表示在时刻n消耗在1Ω电阻上的集合平均功率，方差则表示在1Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称为标准方差。

随机变量Xn的均值称为Xn的一阶矩，方差称为二阶中心矩，均方值称为二阶原点矩。

1234 相关函数

在随机序列不同时刻的状态之间，存在着关联性，或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列本身或者不同随机序列之间。这一特性常用自相关函数和互相关函数进行描述。

自相关函数定义为

地球物理信息处理基础

式中“”表示复共轭。

对于两个不同的随机序列之间的关联性，我们用互相关函数来描述，即

地球物理信息处理基础

式中pXn，Ym（xn，n；ym，m）表示Xn和Ym的联合概率密度。

1235 协方差函数

常常也用自协方差函数和互协方差函数对随机序列的关联性进行描述，即

自协方差函数

地球物理信息处理基础

rxx（n，m）和cov（Xn，Xm）关系为

地球物理信息处理基础

对于零均值随机序列，有μxn=μxm=0，故

cov（Xn，Ym）=rxx（n，m）

互协方差函数定义为

地球物理信息处理基础

当μxn=μym=0，有

cov（Xn，Ym）=rxy（n，m）

另外，在地球物理信息处理中还经常用到两个更高阶的统计量：偏度和峰度。

1236 偏度

偏度的定义

地球物理信息处理基础

有时也称对称性，是一个量纲一的量，用来描述分布函数相对均值的对称性。

1237 峰度

峰度的定义

地球物理信息处理基础

峰度是一个量纲一的量，用来表征分布函数在均值处的峰值特性。式中减3是为了保证正态分布的峰值为零。用来描述分布函数相对均值的对称性。

include"iostream"

#include"ctime"

#include"cstdlib"

#define MAX 20000

using namespace std;

struct element{ //用来排序的数据结构

int data; // 数据

int index; // 序号

};

int cmp(const void a,const void b); //升序排列

void rand_of_n(int a[],int n); //产生 1-n 的随机排列并存到 a[] 中

int main(){

int a[MAX];

int i,n=10;

rand_of_n(a,n);

for(i=0;i<n;i++)

cout<<a[i]<<" ";

return 0;

}

int cmp(const void a,const void b){ // 升序排序

return((struct element)a)->data - ((struct element)b)->data;

}

void rand_of_n(int a[],int n){

int i;

struct element ele[MAX];

srand((int)time(0)); // 初始化随机数种子

for(i=0;i<n;i++){

ele[i]data=rand(); // 随机生成一个数

ele[i]index=i+1;

}

qsort(ele,n,sizeof(ele[0]),cmp); //排序

for(i=0;i<n;i++){

a[i]=ele[i]index;

}

}

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