余弦定理：设三角形的三边为a
b
c，他们的对角分别为A
B
C，则称关系式
a^2=b^2
c^2-2bccosA
b^2=c^2
a^2-2accosB
c^2=a^2
b^2-2abcosC
余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。
余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质：
a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA
b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB
c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC
cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）
cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）
cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）
（物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到）
第一余弦定理（任意三角形射影定理）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。
余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：
a²＝b²＋c²－2bccosA。
b²＝a²＋c²－2accosB。
c²＝a²＋b²－2abcosC。
cos公式的其他资料：
它是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角。
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
知道三角形的三条边可以通过余弦定理求解三个角的度数。
举例说明如下：
在三角形ABC中,设AB=c,BC=a,CA=b,且a、b、c所对的内角分别是A、B、C,则：
cosA=[b²＋c²－a²]/(2bc)
cosB=[a²＋c²－b²]/(2ac)
cosC=[a²＋b²－c²]/(2ab)
扩展资料：
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下三种需求：
1当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
2当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。
参考资料：
三角函数余弦定理公式为cosA=（b²+c²-a²）/2bc；cosA=邻边比斜边。
三角函数余弦定理公式: f（x）=COsx （xER）。余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，ZC=90°，zA的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=blc，也可写为cosa=ACIAB。
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
实际应用
在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。
从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。
引用《数学之美》文章中的话：“向量实际上是多维空间中有方向的线段。
如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。”
“当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。”同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
对于任意三角形
三边为a,b,c
三角为A,B,C
满足性质
(注：ab、ac就是a乘b、a乘c
。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)
a^2=b^2+c^2-2bcCosA
b^2=a^2+c^2-2acCosB
c^2=a^2+b^2-2abCosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
证明：
∵如图，有
a
+
b=c
(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）
∴
c
·
c
=(
a+b
)·(
a+b
)
∴c^2=
a
·
a
+2
a
·
b
+
b
·
b
∴c^2=a^2+b^2+2
|a||b|
Cos(π-θ)
整理得到c^2=a^2+b^2-2|
a
||
b
|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2abCosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
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平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinBc)^2+(a-cosBc)^2
b^2=sin^2Bc^2+a^2+cos^2Bc^2-2accosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)c^2-2accosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2accosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
1 正弦定理、三角形面积公式
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB
1正弦定理的变形及应用
变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c
(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
a已知两角和任一边，求其他两边和一角
b已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解
(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状其主要功能是实现三角形中边角关系转化例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替
2余弦定理
在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;
变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab
在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形
3解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π
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