三角形的内心，重心，外心的性质 。

三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等

三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，即重心是中线上靠近边的三等分点；重心和三个顶点的连线把三角形分成面积相等的6个部分

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，到三角形三边的距离相等。但到三角形三边的距离相等的点不一定是外心，三角形的旁心到三角形的三边距离相等。

所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心

1垂心

三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心

2重心

三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心

3

三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心

4

三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，

重心

三边上中线的交点

垂心

三条高的交点

内心

内接圆圆心

三个角角平分线交点

外心

外接圆圆心

三条边的垂直平分线交点

还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心)

只有正三角形才有中心,这时重心,内心外心,垂心,四心合一

一、三角形的五心定义：

三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。

二、五心性质：

（一）重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等即重心到三条边的距离与三条边的长成反比

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3。

（二）外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心

2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）

3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3重心坐标：(

(c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c

)

5、外心到三顶点的距离相等。

（三）垂心的性质：

1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2（此直线称为三角形的欧拉线（Euler

line））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等

（四）内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点该点即为三角形的内心

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一

3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)

4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。

（五）旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

内心的性质是三角形的三条内角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。内心到三角形三边距离相等，都等于内切圆半径r。

O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO：ON=AB：BN=AC：CN=(AB+AC)：BC。

欧拉定理：三角形中，若R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心到三边距离相等（为内切圆半径）

若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。

直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

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