间断点的定义

间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。

间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。

当x趋向于x0时，f（x）趋向于无穷大，故x=x0为无穷间断点。

在间断点处至少有一个单侧极限不存在是第二类间断点，包括两种，极限为无穷大的是无穷型间断点，极限不存在但也不是无穷大的是震荡型间断点。

简介

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

设f(x)在Xo的某一邻域内有定义且Xo是函数f(x)的间断点，那么如果f(x-)与f(x+)都存在，则称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果f(x-)=f(x+)且不等于f(Xo)（或f(Xo)无定义）,则称Xo为f(x)的可去间断点(Removable Discontinuity )。

可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数

可去间断点是左极限和右极限存在但是该点没有定义又称为可补间断点

可去间断点就是左极限=右极限，但是不=该点的函数值，或者在该点没有定义。

因此，可去间断点是不连续的。

间断点：x＝0。

类型：第一类可去间断点。

详细解答：

函数f(x)=x/sinx,在区间(-2π,2π)上,

显然只有x= -π,0和π时,分母sinx=0,可能是间断点,

在x= -π和π时,sinx=0,而分子x不等于0,

故 x/sinx此时趋于无穷大,

即x= -π和x=π是f(x)=x/sinx的无穷间断点

而在x=0时,

f(x)=x/sinx 在x=0处的左右极限存在且相等（都为1）,

所以x=0是f(x)=x/sinx 的可去间断点。

间断点定义：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。

可去间断点：属于非无穷间断点，表示存在极限，与之相对的是不存在极限，即跳跃间断点。去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。

第一类间断点和第二类间断点的区别：

函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在

首先，可导必然连续，连续不一定可导。

所以你对间断点的定义完全记错了。

可去间断点的定义是：极限存在，但极限不等于函数值，不一定是函数在该点无定义，可以有定义，但是定义的函数值不等于极限值即可。

跳跃间断点的定义：左右极限存在，但是不相等。

第二类间断点的定义：左右极限中，至少一个不存在（含极限无穷大的情况）

以上定义中，说的都是极限而不是导数。是你不知道为什么把极限都改为了导数。

可去间断点的情况

例如这个函数

f（x）=x（x≠0）；1（x=0）

这个分段函数，在x≠0的时候，f（x）=x；在x=0的时候x=1

那么在x=0点的极限就是lim（x→0）f（x）=lim（x→0）x=0≠f（0）

所以极限存在，极限是0，但是不等于函数值f（0），f（0）是等于1的。所以就是可去间断点。

还有g（x）=x²/x，这个函数在x≠0的时候，g（x）=x，在x=0的时候，无定义

所以x=0的极限是lim（x→0）g（x）=lim（x→0）x=0

极限存在，等于0，但是g（0）无定义，所以是可去间断点。

左右极限都存在，但是不相等的情况

h（x）=x（x≤0）；x+1（x＞0

这个分段函数，

在x=0点在左极限lim（x→0-）h（x）=lim（x→0-）x=0

右极限=lim（x→0+）f（x）=lim（x→0+）（x+1）=1

左右极限都存在，但是不相等。所以是跳跃间断点。

左右极限不存在的情况

例如k（x）=1/x

在x=0点的左极限是-∞，右极限是+∞，而极限∞（含±∞）是极限不存在的情况

所以k（x）在x=0点处左右极限都不存在。

有定义。

间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

间断点分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、震荡间断点，其中可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点。

在第一类间断点中，有两种情况。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处；左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。

间断点几种常见类型：

1、可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

2、跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

3、无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

参考资料来源：百度百科——间断点

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