从数学的角度解释为什么井盖是圆的,井盖一般是圆的是因为什么

为什么井盖是圆的? (用数学解释井盖为什么是圆的)

很多时候，我们走在城市的大街上，低头看马路，都在想，为什么马路上，非机动车道上有那么多圆形的井盖。虽然这并没有影响太多交通，但总觉得路上这么多坑坑洼洼的不好看。所以观察力敏锐的同志会问一个问题？为什么几乎所有的井盖都是大大小小的圆形，而其他形状的井盖却很少？

微软提出了棘手的问题。

你们可能都知道，这样一个看似无厘头的问题，是一个经典的面试问题。据说这个问题可以从各方面来回答。有人说是因为圆形井盖便于运输，而且边角不易磕碰，这话没错。与三角形相比，正方形确实有这个优势。有人说圆形井盖受力时，会把力均匀分散，不会聚集在某个位置，不容易造成边缘开裂。这也是事实。还有人从哲学角度解释，圆井盖多，是因为井口本身是圆的。本来井盖就是圆的，这是理所当然的。

但是小然君还是想从数学的角度考虑这个问题。

圆形井盖

井盖是维持城市生活正常运转的重要设施。如果坏了或者被偷了，对这方面的人影响很大，甚至会导致生命安全事故。防盗，现在已经不是金属材质了，真的没有太大的经济价值。即使井盖没被偷，也不可能直接从井口掉下来。没错。从数学上来说，大多数井盖都是圆的，只是为了防止它们掉进井里。

井盖大多是圆形的。

让我们做一个实验。我们用一个正三角形和一个正方形做井盖，翻过来看能不能从井口掉下来。这里需要注意的是，其实井口会比井盖略大，这样保证了井盖在井口可以是圆形的。但这一点点相对于整个井盖的大小来说微不足道，所以在分析中可以忽略不计。

与井口井盖的结构关系

对于三角形井盖，当你准备将正三角形放入井口时，我们将井盖垂直放置，我们很快发现，如果你偏转一定角度以避免井盖的最长边长接触井口，三角形井盖很容易穿过井口而不接触井口边缘的任何位置。有一段时间，我们可能不知道哪个长度决定了我们能不能掉进井口，所以我们从各个角度去尝试。

三角形井盖不可行。

很快我们发现，根本原因是正三角形的高度小于边长，也就是说，h

三角形的正高与边长的关系

既然三角形不行，那正方形呢？

于是我们重复了上面的操作，很快我们发现，在下落的过程中，还是可以让方块完全落入井口的。但是，这里的长度关系并不是上面的身高和边长的关系。

方形也不可行。

我们会在下落的过程中旋转角度。从多个方向尝试后，我们发现正方形的对角线大于其边长，即a >: c .所以每次我们总能把方块翻过来，让它在对角线长度内落入井口。

正方形边长与对角线的关系

换成长方形怎么样？其实也是一样的，因为勾股定理存在，对角线的长度如果适中，比任何边都长。因此，矩形可以落入井底，而不会碰到井盖的边缘。

这个时候我们尝试了三角形和正方形。接下来，让我们检查规则的五边形。通过对前面两种情况的分析，我们发现井盖能否掉入井口的根本原因是斜杆的长度和高度的关系。所以，我们不用做实验来分析。我们画一个正五边形，用理论计算正五边形的对角线和高度的关系。

五边形

正五边形对角线与高度的关系

通过考察正五边形，我们可以从我们一开始列出的方程中发现这个问题的本质。我们发现当边数越多时，对角线和高度越接近。

当高度与对角线长度之差越大时，越容易掉入井口，因为在下落的过程中，可以翻转的角度和空越多。当高度和对角线长度逐渐接近时，在下落的过程中就不那么容易实现转弯角度了。

扩展到无限多边形，满足条件的井盖自然是圆的。

所以，我们很自然地概括出，当边数为无穷大，也就是一个圆的时候，这个时候，高度和对角线会越来越近，最后，一个多边形的高度和对角线就分不清了。所以，无论我们怎么翻圆井盖，圆总是会和井盖牢牢的粘在一起，让它掉不进去。

那么现在问题来了，难道只有圆形的井盖不能掉到井口下面吗？不会，当然圈不是井盖能不能掉的根本原因。根本原因就在于那句话。

只要在翻转图形的过程中图形的宽度始终一致即可。

在任意角度观察圆圈时，图形所占的宽度都是一样的，导致圆圈下落过程中翻转躲避井口的操作无效。我们称这种性质为等宽。只要能找到另一种满足等宽的图案，就能发明一种新的“井盖”。

罗徕三角形绘图

罗徕三角轧制

你可能在某些场合见过下面的图形。画图方法也很简单。它是由三个半径相等的圆以120度的间隔从对称中心相交而成的弧三角形。这个三角形看起来又肥又傻，但却有着不同寻常的性质。你用一对平行线在任意角度测量它的宽度，宽度都是一样的。这个三角形被称为勒洛三角形，这个定义是由19世纪德国工程师弗朗兹·雷乌莱亚克斯命名的。基于这个性质，Lelo三角形是井盖问题的经典答案。

德国工程师弗朗茨·勒洛

这个看似简单的胖三角形，是最简单的等宽曲线。想象一下这个神奇的财产。在一个平面下安装几个这样的勒洛三角形作为轮子，你移动它也不会感觉到平面的丝毫波动和不稳定。这时，有些同学又在怀疑了。既然罗徕三角形的宽度总是一样的，那么它能被用作轮子吗？答案几乎是不可能的。为什么？

骑自行车，以勒洛三角为车轮。

虽然说罗徕三角形图形的宽度在任何旋转下都不会改变，但是它的旋转中心是实时波动的。试想一下，如果你骑一辆自行车，车轮是一个Lelo三角，前后轮轴承的位置就是旋转的中心，这个中心总是高高低低的，这样这辆车就可以骑了，但是感觉就像在飞机上坐跷跷板，好像感觉不是特别好看。但是有人从这个怪异的胖三角中得到了灵感，创造了一个伟大的发明。

当滚动罗徕三角形时，飞机根本不动。

德国人费加斯·万克尔(Figas Wankel)注意到，当罗徕三角形在一条直线上转动时，上下宽度总是相同的，转动中心是中间区域的一个小圆。如果用罗徕三角做转子，在转子中间加一根偏心轴，构造一个特定的空腔，难道不能避免旋转过程中中心波动的问题，转子还能继续旋转做功吗？

发动机发明家弗格斯·汪克尔

而Lelo三角形有三个明显的角，在实际加工过程中不易实现。而且转子高速旋转时，必然会带来更多的磨损，所以使用尖角是不可行的。于是Wankel采用了变形的Lelo三角形，即一个圆绕着原来的Lelo三角形滚动，由圆的最大边的轨迹重构出一个改进的Lelo三角形。可以想象，如果这个外围圆的直径大于Lelo三角形的直径，那么最终的轨迹会更加平滑。我们还是可以证明这样的曲线是等宽的，所以用这样光滑的Leroy三角形作为发动机转子更合适。

转子模型

理论上是可行的，但在实际制造过程中，汪克尔还要克服各种问题，才能让转子发动机成为现实。1927年，汪克尔经过无数次试验，基本解决了气密性、润滑等一系列技术问题。1967年，日本东洋公司首次批量在汽车上安装了转子发动机。后来，一直坚持研究的马自达公司使转子发动机大放异彩。1991年6月23日，马自达创造了历史。在当天举行的勒芒24小时耐力赛中，搭载转子发动机的马自达787B赛车以领先第二名两圈的巨大优势获得冠军！

创造历史的马自达神车787B

虽然转子发动机存在燃烧不充分、污染严重、油耗高等缺点，但它与传统的活塞发动机有很大的不同，体积小，在发电时能产生惊人的功率。它的出现确实给人一种追求力量的耳目一新的感觉。原来引擎还能长成这样。

扫地机的形状也像一个Lelo三角形。

为什么井盖基本都是圆的？这个问题真的可以有上千个答案，每个答案都可以让人信服。从纯数学的角度来看，我们得出了这么多经典的结论，真的出乎人们的意料。了解了井盖的原理后，我们发现了罗徕三角形。从罗徕三角形的特点出发，我们提出了等宽曲线的概念，然后将罗徕三角形应用于制作转子发动机。

我相信井盖的科学还会继续。