立体几何常用定理,立体几何中的定理和概念

立体几何定理（在数学立体几何中，有哪些定理与规律 ？） 1、立体几何证明过程最常用到的定理

我想如果我之前多练习的话，我会把那些定理的性质变成自己的用处，而不是去想那里有什么。

三维几何是对以往几何知识的综合应用。不举具体例子，我先举一个我能记住的部分:投影定理，一个在解决二面角等问题时会用到的基本定理，尤其是投影的概念；勾股定理不用解释了吧？；三正交定理及其逆定理(即代换公式的表达式)；三角形的四个中心(重心，中心，重心，外面和里面好像还有什么)；二面角的知识；平行四边形的证明及其性质的应用:线、点、面的关系及其证明；还有一个问题是什么是点到面，可以转换成点到线再点到点，然后用两点之间的坐标求距离的公式(具体我忘了好像是人教版必修2)；还有几何学的面积和体积的基本公式等等...

暂时只能回忆到这么多。其实学英语还是需要一些代数知识和一些巧妙的证明方法的。这里就不赘述了。最后祝你高考成功，呵呵。1.直线平行于平面(判断)

1.决策定理。如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面。

2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)

二。平行于平面的平面(判断)

1.判定定理:一个平面上的两条相交线平行于另一个平面，则这两个平面平行。

2.关键:确定两个平面是否有共同点。

三。该线平行于平面(属性)

1.性质:如果一条直线平行于一个平面，那么该直线与该平面的任意交线都平行于该直线。2.应用:若一平面与直线相交，并与已知平面相交，则交线平行于直线。

四。平行于平面的平面(自然)

1.性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线是平行的。

2.应用:通过做一个与两个平行平面相交的平面，得到交线，该线平行。

五:直线垂直于平面(定理)

1.判断定理:若一条直线垂直于平面内两条相交的直线，则该直线垂直于平面。

2.应用:如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面中的所有直线(垂直线曲面→垂直线)

不及物动词平面和平面的垂直度(定理)

1.如果一个平面与另一个平面的垂线相交，则这两个平面是垂直的。

(或者进行二面角判断)

2.应用:在其中一个平面中找到或做出另一个平面的垂直线，即实现垂直线与垂直面的转换。

七。平面和平面垂直(自然)

1.性质1:垂直于同一平面的两条垂线平行。

2.性质二:如果两个平面垂直，则一个平面中垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

3.性质3:如果两个平面互相垂直，那么通过第一个平面的一个点垂直于第二个平面中的一条直线，它就在第一个平面中(性质3没用，可以不用算了)

以上是立体几何的定理和性质安排。是必须要记住的基础！投影定理:

如果两条垂直相交的直线中有一条平行于投影平面，那么这两条直线在投影平面上的投影仍然是相互垂直的；反之，若两条相交直线在某一投影平面上的投影互相垂直，且其中一条直线平行于该投影平面，则这两条直线在空之间一定互相垂直。

正面垂直:

垂直于两个面的交点的两条直线互相垂直。

下面是一些求解立体几何的简单公式:

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面上，那么这条直线上的所有点都在这个平面上。

(1)确定平面内直线的依据

(2)确定平面上点的方法

公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。

(1)确定两个平面相交的依据

(2)判断几个点在两个相交平面的交线上

公理3:经过不在一条直线上的三个点后，只有一个平面。(1)确定平面的依据

(2)确定几个点共面的依据。

推论:经过一条直线和直线外的一点，只有一个平面。(1)确定多条直线共面性的依据

(2)判断几个平面重合的依据

(3)判断几何图形是否为平面图形的依据。

推论:两条相交的线后，只有一个平面。

推论:两条平行线后，只有一个平面。

几何直线和平面

空之间相互平行的两条直线

公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行。

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线

空直线与平面位置的关系

(1)直线在平面内——有无数个共同点。

(2)直线与平面相交——只有一个公共点。

(3)直线与平面平行——没有共同点。

与直线平面的夹角

(1)平面的斜线与其在平面上的投影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角。

(2)一条直线垂直于平面，这条直线与平面所成的角定义为直角。

(3)直线平行于平面，或在平面内，其与平面所成的角定义为0度角。

三垂线定理平面中的一条直线垂直于该平面的一条对角线，如果它垂直于这条对角线的投影。

垂线三逆定理一个平面内的直线，如果垂直于这个平面内的一条对角线，则垂直于这条对角线的投影。

空之间两平面平行的判断

自然

(1)如果一个平面中的两条相交线平行于另一个平面，则这两个平面平行。

(2)垂直于同一直线的两个平面平行。

(1)两个平面平行，一个平面内的直线必须平行于另一个平面。

(2)若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。

(3)直线垂直于两个平行平面中的一个，它也垂直于另一个平面。

两个平面相交的二面角:两个半平面从一条直线出发形成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的直线，这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角:以二面角边上的任意一点为端点的两条射线，在两个平面内分为垂直的边。这两条光线形成的角叫做二面角的平面角。

平面角为直角的二面角称为直二面角。

双平面垂直判断

如果一个平面穿过另一个平面的垂直线，那么这两个平面相互垂直。

(1)如果两个平面垂直，那么在一个平面中垂直于它们的交点的线垂直于另一个平面。

(2)如果两个平面垂直，则通过第一平面中的一点的直线垂直于第二平面，在第一平面中

几何多面体、棱柱、棱锥

多面体

由几个多边形定义的几何叫做多面体。

棱镜:其侧边不垂直于底部的棱镜。

直棱镜:其侧边垂直于底部的棱镜。

正棱柱:底部为正多边形的正棱柱。

金字塔:如果金字塔的底面是正多边形，顶点在底面上的投影是底面的中心，这样的金字塔称为正金字塔。

球

到某一点的距离等于或小于固定长度的点集。

欧拉定理

简单多面体的顶点数V、边数E和面数F之间存在一个关系:V+F-E=2。找一本高三数学的复习书，里面有这个内容。如果有不懂的地方，可以找初中数学课本。

这里归纳只能很简单，不一定实用。三个垂直线定理

垂直于一个平面的平面垂直于该平面。

斜线在平面上的投影，其中直线垂直于投影，斜线垂直于直线。

其他的，暂时就想到这么多了。证明直线垂直或平面垂直，一般用勾股定理的逆定理。

求二面角一般是勾股定理。

还有等腰三角形和等边三角形的性质。

但一般来说立体几何中有很多直线或平面是垂直的，高考也是需要的。

2、在数学立体几何中，有哪些定理与规律 ？

立体几何中常用的图形有长方体、正方体、圆柱体、棱柱体、棱锥体、球体。

定理定律多用于正投影图形，不适用于立方体。

圆柱体的两层是圆形的，侧面是矩形的。

对于正棱柱，底面平行于侧面，侧面是全等矩形。

对于正金字塔，一般是正三棱锥和正四边形，正三棱锥也叫正四面体。

它的四个面是全等的正三角形。

其中心不仅是其外球面的球心，也是其内球面的球心。

另一方面，正方形金字塔的底部是正方形，两边是全等的等腰三角形，不一定是正三角形。

一般球形物体只用它的表面积公式S = 4π r 2，体积公式V = 4/3 * π r 3。

还有一个多面体欧拉公式V+F-E=2 V是顶点数，F是面数，E是边数。

平时考试就用这些。

勾股定理

有很多定理。

3、高中立体几何定理

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面上，那么这条直线上的所有点都在这个平面上。

公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条公共直线通过这个点。

公理3:通过不在同一条直线上的三点，只有一个平面。

推论:经过一条直线和直线外的一点，只有一个平面。

推论:两条相交的线后，只有一个平面。

推论:两条平行直线后，只有一个平面。

公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行。

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角相等。

空之间两条直线的位置关系:空之间两条直线的位置关系只有三种:平行、相交、平面外。

1、根据是否共面可分为两类:

(1)共面性:平行相交。

(2)不同的平面:

平面外直线的定义:任意平面内不同或既不平行也不相交的两条直线。

平面外直线的判定定理:平面内一点与平面外一点之间的直线，与不经过平面内该点的直线共面。

两条不同平面的直线形成的角度:范围为(0，90) ESP。空矢量法

不同平面的两条直线之间的距离:公共垂直线段(只有一条线)esp。空矢量法

2.从是否有共同点的角度来看，可以分为两类:

(1)只有一个公共点——相交直线；(2)没有共同点——平行或不同的平面

直线与平面的位置关系:直线与平面的位置关系只有三种:平面内、与平面相交、与平面平行。

①直线在平面内——有无数个共同点。

②直线与平面的交点——只有一个公共点。

与直线平面的夹角:一个平面的对角线及其在该平面上的投影所形成的锐角。

Esp。空矢量法(求平面的法向量)

规定:A、直线垂直于平面时，所成的角为直角；b、直线平行于平面或在平面内时，所形成的角度为0。

直线与平面所成角度的范围为[0，90]。

最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与平面内任意一条直线所成的角中的最小角。

三个垂直定理和逆定理:如果一个平面中的一条直线垂直于一条对角线在这个平面中的投影，那么它也垂直于这条对角线。

Esp。这条直线垂直于平面

直线垂直于平面的定义:如果一条直线A垂直于平面中的任意一条直线，我们说直线A与平面互相垂直。直线A称为平面的垂线，平面称为直线A的垂直面。

直线垂直于平面的判定定理:如果一条直线垂直于平面中的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面。

垂直于直线所在平面的性质定理:如果两条直线垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线与平面平行——没有共同点。

直线与平面平行的定义:如果直线与平面没有共同点，那么我们说直线与平面平行。

直线与平面平行的判定定理:如果一条平面外的直线平行于本平面内的一条直线，那么这条直线平行于本平面。

直线与平面平行的性质定理:如果一条直线平行于一个平面，且穿过该直线的平面与该平面相交，则该直线平行于交线。

两个平面之间的位置关系:

(1)两个平面相互平行的定义:两个平面之间没有公共点空

(2)两个平面之间的位置关系:

两个平面平行——没有共同点；两个平面相交——有一条公共直线。

一、平行

两个平面平行的判定定理:如果一个平面中的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两平行平面的性质定理:若两平行平面同时与第三平面相交，则交线平行。

B.交集

二面角

(1)半平面:平面中的一条直线把这个平面分成两部分，每一部分称为半平面。

(2)二面角:从一条直线出发，由两个半平面组成的图形称为二面角。二面角的范围是[0，180]。

(3)二面角的边:这条直线叫做二面角的边。

(4)二面角的面:这两个半平面称为二面角的面。

(5)二面角的平面角:以二面角边上的任意一点为端点，分别在两个平面内作两条垂直于该边的射线。这两条光线形成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角:平面角为直角的二面角称为直二面角。

Esp。两个平面是垂直的

两个平面垂直的定义:两个平面相交。如果所形成的角是直的二面角，则称这两个平面相互垂直。Remember⊥

判断两个平面垂直的定理:如果一个平面通过另一个平面的垂线，那么两个平面互相垂直。

两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么垂直于一个平面中的交线的直线垂直于另一个平面。

注意:

二面角的解法:直接法(做平面角)、三互垂定理和逆定理、面积投影定理、矢量在空之间的法向量法(注意得到的角度与所需角度的互补关系)。

多面体

棱镜

棱柱的定义:两个面互相平行，另一个面是四边形，每两个四边形的公共边互相平行。由这些面围成的几何形状称为棱柱。

棱镜的性质

(1)侧边都相等，边是平行四边形。

(2)两个底面与平行于底面的横截面全等的多边形。

(3)穿过两个不相邻的侧边的横截面(对角面)是平行四边形。

金字塔

金字塔的定义:一个面是多边形，其他面是有一个公共顶点的三角形。这些面围成的几何形状称为金字塔。

金字塔的属性:

(1)侧边相交于一点。所有的边都是三角形。

(2)平行于底面的横截面是类似于底面的多边形。并且它的面积比等于截头棱锥的高度与远处棱锥的高度之比的平方。

规则金字塔

正棱锥的定义:如果棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥。

正金字塔的性质:

(1)各侧边相交于一点且相等，各边为全等等腰三角形。每个等腰三角形底部的高度相等，称为正四棱锥的斜高。

(3)许多特殊的直角三角形。

ESP: A .对于两个相邻边相互垂直的正三棱锥，顶点在底面上的投影可以由三条垂线作为底三角形的质心的定理得到。

b、四面体中有三对不同平面的直线。如果两对互相垂直，第三对也互相垂直。而顶点在底部的投影就是底部三角形的质心。

1、注意建立空之间的直角坐标系。

2.空之间的向量也可以不用坐标系。

欧拉公式:V(角度)+f(面)-e(边)=2

正多面体只有五种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

球

1、球和球区的区别

2.经度(平面角)和纬度(线角)

3.球的表面积和体积公式

4.球面上两个平行平面之间距离的倍数。