柯西数列的定义是什么?

柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。

在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。

定理叙述：

数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立

将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：

函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立

此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。

证明举例：

证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限

证：对于任意的m,n属于正整数，m>n

|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m

=（1/n-1/m）→0

由柯西收敛原理得{xn}收敛

当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m

=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0

由柯西收敛原理得{xn}收敛

综上{xn}收敛，即{xn}存在极限

在大于某个特定的项数n之后，任选两个项的绝对值总会小于一个数（该数值不确定，但恒大于零），则这个数列就是基本数列（收敛数列）。“柯西准则”又称“柯西收敛原理”，是一个数列极限存在的充要条件。

条件：对于任意小数ε＞0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有｜xn-xn'|<ε；

结论：数列｛xn}有极限x，即对于任意小数ε＇＞0，存在自然数N'，当n>N'时，有｜xn-x|<ε＇。

柯西极限存在准则应用

柯西极限存在准则是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：

（1）数列。

（2）数项级数。

（3）函数。

（4）反常积分。

（5）函数列和函数项级数。

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