方差与标准差

标准差（StandardDeviation），也称均方差（meansquareerror），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。公式：1、方差s=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+(xn-x)^2]/n(x为平均数)2、标准差=方差的算术平方根它们的意义：1、方差的意义在于反映了一组数据与其平均值的偏离程度；2、方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。3、方差的特性在于：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。4、标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度。

我们可以代入期望的数学表达形式。比如连续随机变量：

Var(X)=E[(X−μ)2]=∫+∞−∞(x−μ)2f(x)dx

方差概念背后的逻辑很简单。一个取值与期望值的“距离”用两者差的平方表示。该平方值表示取值与分布中心的偏差程度。平方的最小取值为0。当取值与期望值相同时，此时不离散，平方为0，即“距离”最小；当随机变量偏离期望值时，平方增大。由于取值是随机的，不同取值的概率不同，我们根据概率对该平方进行加权平均，也就获得整体的离散程度——方差。

方差的平方根称为标准差(standard deviation, 简写std)。我们常用σ表示标准差

σ=Var(X)−−−−−−√

标准差也表示分布的离散程度。

正态分布的方差

根据上面的定义，可以算出正态分布

E(X)=1σ2π−−√∫+∞−∞xe−(x−μ)2/2σ2dx

的方差为

Var(X)=σ2

正态分布的标准差正等于正态分布中的参数σ。这正是我们使用字母σ来表示标准差的原因！

excel的标准差函数是：STDEVP函数。

使用STDEVP函数的方法：

1、首先点击选中需要计算标准差的单元格位置，并选择上方的“fx”图标插入函数。

2、在插入函数对话框中输入STDEVP，并在查找到的结果中双击STDEVP开启函数参数设置。

3、在打开的参数设置对话框中选中需要计算标准差的单元格区域，可以根据需要自行选中。

4、点击确定后即可对应生成标准差，针对多组数据可以向下填充公式生成批量的计算结果。

标准差的两种计算公式如下：

std(A)：

std(A)函数求解的是最常见的标准差，此时除以的是N-1。

此函数命令不能对矩阵求整体的标准差，只能按照行或者列进行逐个求解标准差，默认情况下是按照列。

在MATLAB主窗口中输入std(A)回车，结果如下：

输出的是每一列的标准差。

std(A，flag)：

这里flag代表的是用哪一个标准差函数，如果取0，则代表除以N-1，如果是1代表的是除以N，

我们在MATLAB主窗口中输入std(A，1)回车，std(A，0)。

std(A，flag，dim)：

第三个参数代表的是按照列求标准差还是按照行求标准差，std(A，1，1)代表的是按照列求标准差，std(A，1，2)代表的是按照行求标准差。

标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) -统计学名词.一种量度数据分布的分散程度之标准,用以衡量数据值偏离算术平均值的程度.标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然.标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量.

公式

标准偏差公式：S = Sqrt[(∑(xi-x拔)^2) /（N-1）]公式中∑代表总和,x拔代表x的均值,^2代表二次方,Sqrt代表平方根.

例：有一组数字分别是200、50、100、200,求它们的标准偏差.

x拔 = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5

S^2 = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/3

标准偏差 S = Sqrt(S^2)=75

STDEV基于样本估算标准偏差.标准偏差反映数值相对于平均值 (mean) 的离散程度.

计算步骤

标准偏差的计算步骤是：

步骤一、(每个样本数据 减去 样本全部数据的平均值).

步骤二、把步骤一所得的各个数值的平方相加.

步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)（“n”指样本数目）.

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差.

标准偏差(标准差)的定义

标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数,它是离差平方和平均后的方根.用σ表示.因此,标准差也是一种平均数.标准差是方差的算术平方根.　标准差能反映一个数据集的离散程度.平均数相同的,标准差未必相同.

例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67.这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.08分,B组的标准差为2.16分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多.

标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词.一种量度数据分布的分散程度之标准,用以衡量数据值偏离算术平均值的程度.标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然.标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量.

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